미분가능성 질문!

Question

맞췄는데 찜ㅉㅁ해서 질문드려요

풀때는 순간 1에서만 미분 가능하면되는구나 하고 풀었는데 생각해보니까  좀 직관인거같더라고요 그래프도 저렇게한번에 나오고요 

원래 정석으로는 어떻게 푸는지요 고수님들

박수칠 · Accepted Answer

함수 f(x)의 그래프가 x=-1, 1에서 x축과 만나는 모양에 따라
경우를 나눠서 다음과 같이 접근할 수 있습니다.

g(x) = | f(x) | - | x - 1 | 로 둡니다. 그럼
x<1일 때 g(x) = | f(x) | + x - 1
x≥1일 때 g(x) = | f(x) | - x + 1
이 되죠.

f(1)=0이 성립하니까 함수 f(x)의 그래프는 x=1에서
x축을 뚫거나, 뚫지 않으면서 접하거나, 뚫으면서 접하거나 셋 중 하납니다.

i) f(x)가 x=1에서 x축을 뚫을 때
f '(1) > 0으로 가정하면 1을 포함하는 충분히 좁은 열린 구간에서
x<1일 때 g(x) = - f(x) + x - 1
x≥1일 때 g(x) = f(x) - x + 1

x<1일 때 g(x) = - f ‘(x) + 1
x>1일 때 g(x) = f ‘(x) - 1
이 됩니다.

따라서 g(x)가 x=1에서 미분가능하려면
- f ’(1) + 1 = f ’(1) - 1
f ’(1) = 1
이 성립하면 됩니다.

f ’(1)<0으로 가정하면 f ’(1) = -1이 나오겠죠.

ii) x축을 뚫지 않으면서 접할 때, iii) 뚫으면서 접할 때는
f ‘(x)=0이므로 함수 g(x)의 x=1에서의 좌, 우미분계수가
-1, 1이 나오면서 다르기 때문에 미분불가능합니다.

i)~iii)으로부터 함수 f(x)는 x=1에서 x축을 뚫습니다.

다음으로 f(-1)=0이 성립하니까
x=-1에서 함수 f(x)의 그래프도 생각해봅시다.

-1을 포함하는 충분히 좁은 구간에서
g(x) = | f(x) | + x - 1
이고, 함수 f(x)의 그래프는 x=-1에서 x축을 뚫거나, 뚫지 않으면서 접하거나,
뚫으면서 접하는 세 경우가 가능합니다.

i) f(x)가 x=-1에서 x축을 뚫을 때
f ‘(-1)≠0이기 때문에 함수 g(x)의 좌, 우미분계수가 달라서 미분불가능

ii) f(x)가 x=-1에서 x축을 뚫지 않으면서 접할 때, iii) 뚫으면서 접할 때
f ‘(-1)=0이기 때문에 g ‘(-1)=1이 되면서 미분가능

그런데 ii)의 경우는 함수 f(x)의 그래프가 x축과 세 점에서 만나기 때문에
함수 g(x)가 x=-1, 1이 아닌 새로운 미분불가능점을 갖습니다. 따라서 iii)의 경우만 성립

결국 함수 f(x)의 그래프가 x=1에서 x축을 뚫고, x=-1에서 x축을 뚫으면서 x축에 접하므로
함수 f(x)의 그래프 개형이 본문의 그림과 같아지는 것이죠 ^^

미분가능성 질문!

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