xe^x 의 음의극한은
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0 이라는건 알고있는데
무슨수로구해야하나요
고등학교과정에선 로피탈을 쓸수없으니
딱히 증명할수있는게..
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2027 수능
D - 139
x를 -t로 치환, t를 양의 무한으로 발산시킨다는 생각을 우선하구요.,..
e^x>1+x+1/2x^2 부등식 이용하면 될것같습니다.
아님 평균값의 정리를 응용하는 방법도 있구요 ㅎㅎ
x=-t로 치환하면 x가 마이너스 무한대로갈때 t가 무한대로가죠
치환결과 -t*e^(-t) = - t/e^t 인데 t를 무한대로 보내면 0으로 가는거 이해되시나요?
이게왜 0으로가냐면 상식적으로생각하면 지수함수는 다항함수에비해 함수값이 커질수록
증가량이 폭발적이기때문에 1000차식이 있다해도 나중엔 지수함수에게 따라잡힙니다
이걸 좀더 논리적으로하면
e^x 을 미분해도 e^x 잖아요 그리고 0에서의 기울기가 1인데 e^x는 증가함수니까
도함수도 증가하니까 계속해서 기울기는 커지는데
y=x는 기울기가 언제나 1이고 x=0에서 함수값마저 e^x보다 작으니
무조건 e^x보다 기울기랑 함수값 전부작으니 그차이가 점점점커져 무한대로가겠지요
결국 x*e^x (=-t/e^t) 의 음의 극한은 0!
그렇다면 x^2e^x 도 비슷하게 이해하면되는건가요
x^100000 * e^x 의 음의 극한값도 0이에요
이해하려고하면 골치아프네요.. 그냥 외우는걸로ㅠㅠ
다항함수보다 지수함수가 0 으로가는힘(?)이 더 세다!! 정도로
이해하시면 진짜별거아니에요ㅋㅋㅋ
지수함수가 0으로 갈때 폭발적으로 증가하시는건 아시죠
그려만봐도 느껴지고
2^x만봐도 2 4 8 16 32 .. 1024 2048
가면 갈수록 급격해지죠
음의경우엔 그역수니까 그만큼 0에 붙는거구요