통계적 추정 질문드려요
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이거 몇개월전에 만나서 또 틀리고 나름 깨달았다고 생각했는데
또 오늘 만나고 틀리고 헷갈리네요. 암담한 심정이네요.
문제가 변호사 사무실에서 상담을 하는데 평균 25분,표준편차 5분인 정규분포 곡선을 따른다고 합니다.
근데 4번의 상담을 임의추출하여 총 상담시간의 합이 2시간 이상일 확률을 구하라네요.
제가 대충 생각한 방법은 다음과 같습니다.
4번을 임의 추출할떄 상담시간 x의 표본평균 x' 는 평균 25분 표준편차 2.5분인 정규분포 곡선을 따릅니다.
4번의 상담시간의 합이 2시간 이상이다면 1번이 평균 30분 이상이면 됩니다.
따라서 확률 P( 표본평균 X' >= 30 ) 여기까지 식을 세우고 표준화해서 하면 P (Z>= 2) 가 나옵니다.
근데 결론적으로 이방법은 틀렸고 해설지는 P(Z>=1) 이렇게 결론을 냅니다.
해설지는 위의 방법으로는 풀지 않습니다.
해설지는 4X' 는 평균 100분, 표준편차 20분을 따른다라고 하고 있고
바로 P(4X'>=100) 으로 결론을 냅니다. 그래서 P(Z>=1) 이라는 결론이 납니다.
근데 저는 의문인게 해설지의 방법은 제가 처음 보는 방법이었고 어디 물어보니
이게 대학교에서는 아주 기초적이지만 고등학교에서는 배우지 않는 내용이랍니다.
구체적으로 4X' 의 표준편차가 원래 상담시간 X의 표준편차에 바로 다이렉트로 4를 곱하는것..
이게 너무 생소하네요..
그리고 왜 제가 했던 방법으로는 안되는지를 알고 싶습니다.
정석에 아주 유사한 문제가 있었고 그 문제랑 거의 같은 풀이를 구사했는데도 틀렸네요
정석문제는 다음과 같습니다.
문제는 비누 10만개를 생산한답니다.
무게가 정규분포 곡선을 따르구요 평균이 100이고 표준편차가 2인데
4개를 묶어서 한상자로 판매한다네요.
이경우 무게가 398 미만인것이 불량품일떄 몇개가 불량품이겠냐는 질문입니다.
이 문제는 표본평균 X' 는 평균 100, 표준편차 1의 정규분포 곡선을 따르고
1개 평균 398/4 미만 이면 불량품인것이랑 같다고 간주를 합니다.
그리고 P(X'<398/4) 로 한다음 Z로 표준정규화를 해서 답을 해결했습니다.
근데 정석이 구사한 풀이와 저의 첫번째 풀이가 논리상으로 같다고 보는데
결론적으로 어딘가에서 틀렸네요. 도와주세요
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후후
포만한에 올리니까 개개의 상품성을 따지느냐 안따지느냐를 말씀하시던데
대체 그게 수학적인 표현이 아니라서 이해가 안되는데요..
Var[4X] = 16 Var[X] => Std[4X] = 4Std[X]로 고등수준에서 충분히 알 수 있는 내용입니다.
확률변수 X와 표본평균 X'이 구분되지 않은 것 같습니다.
다음과 같이 쓰는 것이 더 정확하겠네요.
V(4X')=16V(X')=16 x V(X) / 4= 4V(X)=4 x 25=100
제가 적은 식은모든 확률변수에 대해 성립하고, 결국에 표본평균도 확률변수이므로 구분할 필요는 없는 것 아닌거요?
모든 확률변수에 대해 성립하는 식 맞습니다.
처음에 thdrhwk님이 표준편차가 1.25가 되어야 한다고 하시면서 위 식을 쓰셨길래 저는 확률변수 X와 표본평균 X'을 구분 안하신거라 생각해서 조금 더 자세하게 쓴거구요.
1.25는 제가 잘 못 보고 썻ㅅ네요. 원래 표본편차가 2.5인줄 알았어요.
오늘단하루님 풀이 맞습니다.
정석적인 방법으로 잘 푸신 거예요~
그리고 정규분포의 확률 문제는
개개의 상품성을 따지느냐 아니냐 보다
모집단에서 하나를 뽑느냐, 여러 개를 뽑느냐로 구분하는 것이
좋을 것 같습니다.
하나를 뽑으면 모집단의 분포를 쓰는 것이고,
여러 개를 뽑으면 표본평균의 분포를 쓰는 것이죠.
그리고 본문의 해설을 자세히 쓰면 다음과 같습니다.
모집단의 분포가 N(25, 5^2)이므로
크기 4인 표본평균의 분포는 N(25, 2.5^2)을 따릅니다.
임의추출된 4번의 상담 시간 평균이 X’이라면
상담시간 합이 2시간 이상인 사건은 4X’≥120으로 표현됩니다.
또한 E(4X’)=4E(X’)=4 x 25=100, V(4X’)=16V(X’)=16 x 2.5^2=100이므로
4X’은 N(100, 10^2)을 따릅니다.
따라서 구하는 확률은
P(4X’ ≥ 120)=P(Z ≥ (120-100)/10 ) = P(Z ≥ 2)= …
이렇게 계산되는 거죠.
그런데 오늘단하루님의 방법이
표본평균의 분포를 이용하는 근본적인 방법이라
위의 풀이를 따라할 필요는 전~혀 없습니다.
아 다시보니까 4x' 의 분산과 표준편차 구할때 오류가 생긴것 같네요
저기요. 박수칠 님이 틀린것 같아요
저도 틀렸구요
해설지는 p(z>1)로 결론이 나고
저랑 박수칠 님은 p(z>2)로 결론이 났는데요..
오늘단하루님 풀이 맞다니까요... ㅜㅜ
구글링으로 찾아보니까 이 문제 있네요.
이해원 모의고사 FINAL 3회 B형 10번 문제 맞죠?
정오표 찾았으니 아래 링크 확인해보시기 바랍니다.
http://atom.ac/books/664/
진짜네요 검색력 엄청나신듯
근데 이게 이런식으로 똑같은 논리로
오류가 이해원 모의고사에 또 있었는데
그럼 그것도 잘못된거네요?
그럼 대체 포만한에 올렸을떄
상품의 개별적인것을 따지냐 안따지냐
하는거는 헛소리인가요?
포만한에 올렸는데 이상한 사람이 댓글달아서 괜히 오개념만 증폭된듯;;
어떤 공장에서 생산한 제품 가운데 하나를 뽑아 그 무게를 X라 할 때, X의 값이 될 수 있는 것은 그 공장에서 생산한 제품 하나하나의 무게입니다. 이 경우를 '개개의 상품성을 따진다'라고 표현한 것 같구요.
어떤 공장에서 생산한 제품 가운데 n개를 뽑아 그 무게의 평균을 X'이라 할 때, X'의 값이 될 수 있는 것은 그 공장에서 생산된 제품을 n개씩 묶어서 만든 각 묶음들의 평균 무게입니다. 이 경우를 '개개의 상품성을 안따진다'라고 표현한 것 같네요.
이렇게 구분하는 것 보다는
모집단에서 하나를 뽑느냐, 여러 개를 뽑느냐
그걸로 구분하는 것이 기본 개념에 충실하다고 봅니다.
그리고 오르비 모의고사 오류는 atom 해당 모의고사 판매 페이지로 가면 정오표가 있으니 참고하시면 됩니다. 오류인 것 같은데 정오표에 없으면 문제 알려주세요. 또 풀어보고 설명해드릴께요.