221130(미적)을 풀어보자

Question

함수 f(x)의 역함수가 g(x)이고, 증가함수이므로 f(1)=g(1)=1이 성립합니다.

(나)에 주어진 식에 x=1을 대입하면 g(2)=2f(1)=2이고, f(2)=2가 성립합니다.

마찬가지로 x=2를 대입하면 g(4)=2f(2)=4이고, f(4)=4가 성립합니다.

x=4를 대입하면 g(8)=2f(4)=8이고, f(8)=8이 성립합니다.

이제 적분값을 구할 차례입니다.

$XGludCBfezF9Xns4fSB4ZicoeClkeD04Zig4KS1mKDEpLSDOI2bFIQ==$

부분적분을 이해한다면 이 정도는 바로 도출할 수 있습니다. f(8)=8이고 f(1)=1이니 앞의 값이 63이라는 건 쉽게 알 수 있고, 뒤의 정적분값을 구해야 합니다.

일단 이렇게 나누어서 생각해 봅시다.

$XGludCBfezF9XnsyfSBmKHgpZHgrIMcWMn1eezTRFjR9Xns4yBY=$

일단 첫 번째 값은 5/4라고 문제에서 제시해 주었습니다. 두 번째 값을 구합시다.

위의 그림을 보면 알 수 있듯이,

$XGludCBfezJ9Xns0fSBmKHgpZHgrIM4WZ8UWPTQgXHRpbWVzNC0yxwoyPTEy$

가 성립하므로

$XGludCBfezJ9Xns0fSBmKHgpZHg9MTItIM4ZZ8UZ$

입니다.

$XGludCBfezJ9Xns0fSBnKHgpZHg9IM4WMmYoXGZyYWMge3h9ezJ9KWR4$

인데, x/2=t로 치환하면 dx/2=dt이고,

$XGludCBfezF9XnsyfSA0Zih0KWR0PTQgzhjKF3RpbWVzIFxmcmFjIHs1fXs0fT01$

입니다. 그러므로

$XGludCBfezJ9Xns0fSBmKHgpZHg9MTItNT03$

입니다.

마지막으로 세 번째 값을 구해야 합니다.

아까랑 똑같은 방식으로 접근하시면 됩니다.

위의 그림에서

$XGludCBfezR9Xns4fSBmKHgpZHgrIM4WZ8UWPTggXHRpbWVzOC00xwo0PTQ4$

이 성립하므로

$XGludCBfezR9Xns4fSBmKHgpZHg9NDgtIM4ZZ8UZ$

$XGludCBfezR9Xns4fSBnKHgpZHg9IM4WMmYoXGZyYWMge3h9ezJ9KWR4$

인데, 아까와 마찬가지로 x/2=t로 치환하면 dx/2=dt이고,

$XGludCBfezJ9Xns0fSA0Zih0KWR0PTQgzhjKF3RpbWVzNz0yOA==$

이므로

$XGludCBfezR9Xns4fSBmKHgpZHg9NDgtMjg9MjA=$

입니다.

따라서 구하는 값은...

$NjMtKFxmcmFjIHs1fXs0fSs3KzIwKT0zNi0gzBc9yA4xMznEEA==$

이고, p+q=143입니다.

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기하러라 이번 문제는 패스..

3과2분의1 · Answer

꾸준추

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