극한값 계산 질문입니다
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lim->0
(ln(sin(x)+e)^(sin(x)/ln(cos(x)))
어떻게 계산해야 되나요?
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후후
sin(x)+e인가요? +1이면 참조을텐데..
넹 사인x + 상수 e 입니다
단순 극한값 계산 문제인데
일반적인 초월함수 극한 유형을 벗어나서 까다롭네요
e^(-2/e)인가요?
맞는 것 같습니다
어떻게 푸셨나요?
저런 문제가 수능에 나올리는 없겠습니다만
일단 ln( f(x) + 1 ) 에서 f(x)가 0으로가면 ln( f(x) + 1) 은 f(x)로 근사가 가능합니다.
즉 sinx + e부분은 e로 묶어서 (sinx/e + 1)e 로 만들고 그 부분을 ln( sinx/e + 1 ) + 1 로 만들어줍니다. 진수의 곱셈은 로그의 덧셈이니까요.
그럼 ln( sinx/e +1 ) 부분은 sinx / e 가 0 으로 가니까 sinx/e로 근사가 되고
식은 중간단계로 (sinx /e + 1) ^ ( sinx/ln(cosx)) 인데요
sinx 는 x가 0으로가면 x로 1-cosx는 x가 0으로가면 (x^2)/2으로 근사가 됩니다.
여기서 ln ( cosx)를 억지로 1과 0으로 가는부분으로 만들기위해 ln( 1 + cosx-1)로 만들면
cosx-1은 0으로 가므로 cosx-1로 근사가 가능합니다
그럼 식은 (sinx/e + 1 )^(sinx/cosx-1)
여기서sinx 는 x로 cosx-1은 -(x^2)/2 로 근사가 가능하므로
(x/e+1)^-(2/x) 로 최종결과가 나오고
자연상수 e의 정의에 따라 식을 정리하면 {( 1 + x/e)^(e/x)}^(-2/e)입니다. 따라서 중괄호속은 통째로e가
되죠.
따라서 답은 e^(-2/e)
오 굿굿 감사합니다 ㅠㅠ
자연로그 극한 계산법이 (1+0)^∞ 꼴을 만드는게
기본 접근법이라는 것은 다들 알고 있는 사실이지만
이 문제가 그게 잘 안되서 막혔는데 명쾌하게 설명해주셨네요
물론 수능에 이런 계산이 나오는것은 아니겠지만
막히다보니 영 찝찝해서 말이죠
감사합니다
어이쿠 아닙니다. 열공하세용