[Team PPL 칼럼 25호] 나머지 정리와 인수정리요?

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00055967315

안녕하세요. Team PPL의 수학팀 김대현입니다.

이번 수학팀 칼럼에서는 수학(상)의 나머지정리와 인수정리에 대해서 다뤄보려고 합니다.

중학교를 마치고 고등학교에 입학하여 학생들이 고등수학을 접했을 때 처음으로 어려움을 느끼는 개념은 어느 부분일까요? 물론 학생들마다 다르겠지만 개인적으로 다항식의 나눗셈에서 나머지정리와 인수정리 파트라고 생각합니다. 쉬운 부분도 있지만 정확하게 이해하기에는 쉽지 않고 내신 킬러 문제로서도 빈번하게 등장하고 있는 아주 중요한 개념이라고 생각됩니다. 그래서 이번 칼럼에서 다항식의 나눗셈의 몫과 나머지의 원리와 이와 관련된 어려운 문제를 풀어보는 시간을 가지려 합니다.

먼저 모든 내용을 간단히 요약하자면 다음과 같습니다.

수의 나눗셈의 원리를 통해 다항식의 나눗셈의 원리를 이해한다.

모든 과목을 통틀어서 새로운 내용을 이해할 때에는 이전에 배웠던 것을 통해 연관지어 생각하는 것이 가장 좋습니다. 어렸을 때 배운 수의 나눗셈의 원리는 무엇이 있었을까요?

다음 예시를 보겠습니다.

1번과 2번을 보았을 때 옳은 것은 무엇일까요? 언뜻 보면 둘 다 맞는 것 같지만 가장 중요한 것이 있습니다. 바로 나머지는 나누는 수보다 작아야 한다는 것입니다. 따라서 1번이 옳은 표현이고 2번은 틀린 표현입니다. 다항식의 나눗셈도 나머지 식의 차수가 나누는 식의 차수보다 작아야 한다는 규칙이 있습니다. 그렇다면 2번에서 진짜 몫과 나머지를 구하려면 어떻게 해야 될까요?

다음 그림과 같이 잘못된 나머지를 나누는 수로 다시 나눠주는 방법을 통해 진짜 나머지와 위의 잘못된 몫과 나머지를 다시 나눠주면서 나오는 몫을 더해줌으로서 진짜 몫을 구할 수 있습니다. 이 원리가 다항식에 어떻게 적용이 되는지 알아보겠습니다.

[2015 고1 6월 모의고사]

위 문제는 나머지정리를 최고난도로 응용한 문제로서 무려 오답률이 90%였던 문제입니다. 여기서 중요한 부분은 (나) 조건과 나머지 R(x)에 관한 조건에서 나누는 식의 인수 부분은 같고 차수만 달라졌다는 것입니다. 이러한 경우 적당한 식의 변형을 통해 나누려는 식과 나누는 식은 같지만 몫과 나머지가 잘못 표현된 식의 형태를 만들 수 있고 위의 원리를 통해 문제를 해결할 수 있는 중요한 조건을 얻을 수 있습니다. 자세한 풀이과정은 밑의 그림 파일로 확인하실 수 있습니다.

이렇게 수의 나눗셈의 원리를 통해 다항식의 나눗셈에 대해 좀 더 이해할 수 있었듯이 앞으로 학생분들께서 수학을 공부하실 때 어려운 내용은 예전에 배웠던 비슷한 내용을 바탕으로 차근차근 이해하는 방향으로 나아가주셨으면 좋겠습니다. 고등 수학뿐만이 아닌 그 이후로 수학을 공부하실 때도 매우 유용한 방법이 될 것입니다.

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.