[미적분] OX퀴즈 풀이
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1. 일대일대응 함수가 x=a에서 연속이지만 그 역함수가 x=f(a)에서 불연속인 다음과 같은 반례가 존재합니다. (아래 해설은 pqr님께서 작성해주셨습니다.)
2. f(x) = x³은 R에서 미분가능하지만 그 역함수는 x=0에서의 접선이 y축과 평행하여 x=0에서 미분불가능합니다.
3. x-1 = 0의 근은 x = 1 = 0 + (1)*sqrt(1) 이지만 이 방정식은 x = -1은 근으로 가지지 않습니다.
4. 유리수 p, q와 무리수 A에 대해 유리계수 다항방정식이 p + q*sqrt(A)를 근으로 가지지만 p - q*sqrt(A)는 근으로 가지지 않는 반례가 존재합니다. (결국 A가 유리수, sqrt(A)가 무리수라는 조건이 있어야 됩니다.)
5. f(x) = x² (x!=0), 3 (x=0) 으로 정의된, 즉 비약 불연속점(Jump Discontinuity)를 가진 함수의 경우 정적분은 가능하지만 f의 원시함수 F는 F'(x) = x² (x!=0), 3 (x=0)이 되어 정의 자체가 불가능합니다.
6. 다음 함수는 분명 초월함수이지만, 이계도함수가 불연속이므로 이계도함수부터 미분 불가능합니다.
7. 병리적 함수의 일종인 볼테라 함수(Volterra Function)은 실수 전체에서 미분가능하고 그 도함수가 유계이지만, 도함수는 리만 적분 불가능합니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function
8. f(x) = x²의 원시함수 F(x) = x³/3 + C는 일반적으로 기함수가 아닙니다.
9. 기함수 f(x) = 1/x의 원시함수는 F(x) = ln|x| + C이지만, x>0과 x<0인 범위의 적분상수가 같을 필요가 없어 일반적으로 우함수가 아닙니다.
10. f(x) = [x] (바닥함수 또는 가우스 함수)는 그 극댓점에서 미분불가능합니다. (불연속 함수에서도 극점은 정의됩니다.)
11. f(x) = |x|는 그 극솟점 (0, 0)에서 미분불가능합니다.
12. 다음과 같이 정의된 디리클레 함수는 리만 적분이 불가능하지만 1+k/n는 유리수이므로 좌변의 극한은 수렴합니다.
13. cot x와 tan x는 정의역부터 다릅니다. tan x의 점근선 부분에서 cot x는 0의 함숫값을 가집니다. tan x = 1/cot x는 성립하지 않는 식입니다.
14. 코흐의 눈송이 프랙탈이나 바이어슈트라스 함수는 모든 점에서 미분불가능한 연속함수입니다.
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%94%EC%9D%B4%EC%96%B4%EC%8A%88%ED%8A%B8%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%ED%95%A8%EC%88%98
15. 2번의 반례와 동일한 반례입니다. 수직 접선(Vertical Tangent)입니다.
16. f(x) = sqrt(x) (x>=0), - sqrt(x) (x<0)
g(x) = x²이면 f(g(x)) = x이지만 이 둘은 역함수 관계가 아닙니다. 일대일대응이라는 조건이 추가적으로 있어야 됩니다.
17. 13번과 동일한 논리로, 대부분의 구간에서 동일한 함수이기는 하나 정의역과 치역이 다릅니다.
18. 연속함수는 정의역 내에서의 연속성만 고려하므로 y = 1/x은 연속함수입니다. 정의역이 아닌 구간에서의 연속성은 해석학적으로 따질 이유도, 따질 필요도 없습니다.
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ㅈㄱㄴ 위 사진은 FM폐인들의 모임 스탭인증 FM유저들 = 레알 쇼타콘 유망주 성애자
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