수학상 질문
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수학의 정석 수학상 실력편 필수예제 4-4문제변형
a,b,c가 자연수이고, p=a²+b²+c² 일 때, a,b,c,p가 모두 소수이면 a,b,c 가운데 적어도 하나는 3이다(단, a,b,c가 모두 3의 배수가 아니면 p는 3의 배수이다.)를 증명해라.
제가 이 문제를 풀 때는 귀류법으로 풀었는데요.
이 명제의 대우명제는' a,b,c 가 모두 3이 아니면 a,b,c,p중 한 개가 소수가 아니다' 이 대우명제를 이용해서 풀자니 너무 난해해서 풀이과정을 보니까 대우를 할 때 'a,b,c가 모두 3이 아닌 소수이다 '로 결론을 부정했네요. 이 부분이 이해가 가지 않습니다.
도와주세요.
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가운데 적어도 하나->합집합
합집합의 드모르간의 법칙을 써서 모두 3이 아닌게 되는거죠.
아니여. 'a,b,c모두 3이 아니면'이 되어야 하는데 'a,b,c가 모두 3이 아닌 소수이다'라고 하는 것이 왜 가능한 지 궁금합니다.
잘생각해보시면 p=어쩌구일때 a,b,c,p가 모두 소수이면 a,b,c중 적어도 하나는3이다 .
이때 이명제가 틀렸음을 보이기위해서는 p=어쩌구를 만족하는데 a,b,c가 소수이면서 모두 3이 아니여야 하죠.
만약 a,b,c가 그냥 3이 아니고 소수도 아니라면 a,b,c,p,가 모두소수이면 이라는 가정에 위배되니까 명제가 틀렸다고 단언할수없죠
명제가 틀린 것을 보이는 것이 아니라 옳은 것임을 증명하는건데요 ㅎㅎ;
증명법에 귀류법을 쓸 때 결론을 부정하잖아요,, 그 때 결론(a,b,c,가운데 적어도 하나는 3이다)을 부정할 때 답지에서 'a,b,c가 모두 3이 아닌 소수이다'라고 하는데 왜 이렇게 하느냔 말이죠
ㅎ.. 제 생각엔 저렇게 하면 안 되고 'a,b,c가운데 적어도 하나는 3이다'의 부정은 'a,b,c가 모두 3이 아니다'로 해야 할 것 같은데 이 점이 궁금해서 질문드리는 겁니다.
결론이 a,b,c,p가 모두소수이면 a,b,c중 적어도 하나는3이다. 요거 전체라서 그래요. 명제가 틀린거보이는건 결론 부분을 명확히 하려고 썻어요
아 그렇군요!! 감사합니다 !