미분 함수극한질문좀여

Question

빡t알텍 n회독중인데 
빵꾸 없엔다라는표현을 이해를 못하겠어요ㅜㅠ

(x-1)x/x와 같이 분모 0되는 부분은 무조건 불연속점인가요?그렇다면 저함수에서 x는 0일때 x=-1을 따루정의해야지 연속이되는건가요?
그렇다면 
그리고 미분계수 정의할때도 분모 0이되는 부분을 만드는건데 정작 다루는 함수들은 모든구간에서 연속인  다항함수따위인데 설명이 안되지않나요ㅜㅠ  문제 못푸는 문제는 하나도없는데 괜히 이해가 안되니깐 일주일 내내끙끙 앓네요 
무슨질문하는지도모르겟고여...

Vinc. · Accepted Answer

연속의 정의를 잘 생각해보시면 될 것 같은데요.
어떤 함수 f가 x에서 연속이라는 말은
f가 x에서 정의되고
lim f(x+h)=lim f(x-h)=f(x)
h->+0
임을 의미합니다.
제안된 함수의 경우 말하신대로 x=0일때 f(x)=-1을 따로 정의해주어야 합니다.

f(x)=x^2+2x+3 같은 함수로 예를 들어볼까요
일단 f(x)는 모든 실수 x에 대해 정의되어있습니다.
f(x+h)-f(x)=2xh+h^2+2h이고, h로 나누면 (2x+2)+h네요. h를 0으로 보내면 f'(x)=2x+2입니다.
정확히 어느 부분이 이해가 안되신 건지 잘 모르겠는데 
이 답이 이해에 도움이 되리라 생각합니다. 혹 궁금한 점이 해결이 안되었다면 댓글 달아주시면 내일 중에 언젠가? (밥을 먹을때라던가) 추가로 설명해드리겠습니다.

바다정원 · Answer

일단 f(x) = (x-1)x/x 라는 함수가있으면 0에서 불연속임 그이유는 0에사 함수값이 '존재'하지 않음
(모든 분수함수는 분모가 0일때 존재 X)

그래서 x=0일때는 그 값자체가 없으니깐 하나를 추가해서 새로 정의를 해주는거예요

f(x) = (x-1)x/x (x는 0이아니다)

그리고
f(x) = -1 (x=1 일때)

(정리)
x=0일때는 분모가 0이라서 그건 자체가 존재할수없으므로 빵꾸가 뚫립니다

그러면 불연속이므로 보기안좋기때문에 빵꾸를 매우는 작업으로 x는0일때의 값을 찾아서 따로 정의해준다

하지만

여기서 또 개빡 아까는 분모가 0이면 존재하지않는다면서 어케구해 ㅅㅈㄴㅎㄷㅁㅇㅅㄷㅂㅋㄱㄷㄹㅎㅅ 수학 개객끼

이때 등장한테 극한 lim이죠

극한의 정의대로 어떤값을 0에 한없이 가까이 보낸다면 어케될까 한거죠

lim f(0) = (x-1)x/x 이렇게 되는거죠

아까랑 뭐가다르냐고 하지만

이건 "분모가 0이아닙니다" 라는 차이가 있죠 0에 한없이 다가갈뿐 0이아니죠 그러므로 x=0에서 함수가 존재하고

그걸 약분하면 x=0에서의 값에 나옵니당

미분 함수극한질문좀여

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