벡터공간+대학수학 질문입니다!!(급)

Question

안녕하세요

계절학기로 Calculus2 듣고있는 대학생입니다.

다름이 아니라 벡터 공부를하다가 궁금해서 질문올립니다.

** 차원의 정의를 어떤 수식적 표현에 들어있는 독립변수의 갯수라고 알고있습니다.

1. 점은 0차원 선은 1차원 면은 2차원 .. 이렇게 통상적으로 말하는데 이게 맞는것인가요?

2. 예를들어 x^2+y^2=1 이 있다고하면 이것(원이라고 지칭하지않고 이것이라고 할게요) 은 x, y로 이루어진 공간속에 있으니까 2차원인가요? 아니면 제가알고 있는 정의에 따라 x가 독립변수라고하면 y는 정해지므로 종속변수, 즉 1차원 인가요?

3.1)f(x,y,z)=w 라는 식이 있을때 이것은 x y z 가 독립이므로 3차원이 맞나요?

3.2)f(x,y,z)=w 라는 식이 있을때 그래프상( x y z 축으로 이루어진공간)에서 그려지지 않는것이 아닌가요 ?

4. 위에 세 질문과는 별개로, Line Integral 을 배우고 있는데, 여기서 Interal (F dot T) ds 라고 곡선 c상에서의 선적분 이라고 정의되있는데, 찾아보니까 총 일의양의합이라고 합니다.
그러면 이식을 계산했을때 일말고 그래프적으로 넓이나 부피 이런 기하학적 의미는 없는건가요 ?

Cartan · Accepted Answer

아무도 답변을 안 달아서 달아봅니다. (사실 오르비에 글을 처음 써요*^^*)

1. 맞아요. 그런데, 차원에 대해서 좀더 깊이 있는 이해를 위해서는 

다변수해석학이나 미분기하학 아니면 수학과 대학원 과정의 미분다양체론

미분위상 등을 공부하는 것이 좋다고 생각합니다. 그러면, 독립변수의 개수라는 의미를

좀더 엄밀히 아시게 될 것입니다. 아직 학부 1학년 수학인 Calculus2로 너무 많은 것을

얻으려 하지 마세용^^ 차차 학년이 올라가면서 수학과 학부, 대학원 과목을 공부하시면서

내공이 쌓이셔야함.-_- 단순히 벡터공간에서는 basis의 원소의 개수로 간단히 정의되기도

합니다. 벡터공간에서의 차원의 정의는 선형대수학에서 공부해요.

2. x^2 +y^2 = 1은 xy좌표평면에서는 1차원, xyz좌표공간에서는 높이가 무한대인 원기둥의 옆면으로

2차원입니다. 학부 1학년 수준에 맞추어 대충 얘기하면 n차원 공간 속에 들어 있는 d차원 도형을

방정식으로 표현하기 위해서는 n-d개의 방정식이 필요합니다. 고등학교 과정에서도 x+y=0이라는 

하나의 등식은 xy좌표평면에서는 1차원인 직선이지만 xyz좌표공간에서는 2차원인 평면이 되지요.

또한, xyz좌표공간에서 직선을 표현하기 위해서는 (x-x_1)/a = (y-y_1)/b = (z-z_1)/c 와 같이 

방정식 2개가 필요합니다.


3.1) xyzw좌표공간, 즉, 4차원 공간에서 그려져야 마땅하겠지요. (그러므로 실질적으로는 못 그리고,

상상만 해야겠지요.-_-^^)


4. 넓이나 부피의 개념은 각각 이중적분과 삼중적분과 관련이 있게 되구요. 위에 언급한 

다변수해석학 등의 과목을 공부하게 되면 differential form들의 Wedge product를 이용하여

이중적분과 삼중적분을 더 엄밀하게 공부하게 되고, 그 때, 넓이와 부피 개념을 스스로 

연결지어 생각하게 될 것입니다.



답변이 공부에 도움이 되었나 모르겠네요. 위에서 언급한 대로 학년이 올라갈 수록

더 재밌는 (그러나, 더 어려운-_-) 과목들이 많으니까 지치지 마시고 열심히 공부하세용.^^

벡터공간+대학수학 질문입니다!!(급)

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