펌)간단한 연애 팁
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조건부 확률로 알아보는 프로포즈 전략
원래 인터넷에 있는 내용인데 설명을 추가한 버전이다.
문제
여자는 남자 100명이 순차적으로 프로포즈할 때 몇 번째까지 튕겨야 하는가?
가정
위 문제를 수학적으로 살펴보기 위해 몇 가지 가정을 하자.
순차적으로 프로포즈 한다.
첫번째 프로포즈 허락하면 나머지 99명은 못본다
99번 거절하면 100번째와 결혼해야 한다.
100명의 남자의 분포는 랜덤이다. 즉, 어떤 남자가 백마탄 남자인지 모른다.
여자는 r번째까지는 무조건 튕기고 그 다음부터 나오는 남자부터는 지금까지 본 남자 중에 가장 괜찮다면 결혼한다. 10번까지 튕기기로 했다면 11번째 남자가 기존 10명보다만 괜찮다면 프로포즈에 OK한다.
풀이
회귀분석에서 회귀계수의 최대가능도추정량(MLE)를 구하는 방법과 상당히 유사하다.
사건 정의
B: 여자가 백마탄 왕자를 정확히 선택한다.
A1: 백마탄 왕자가 1번째로 프로포즈한다.
A2: 백마탄 왕자가 2번째로 프로포즈한다.
⋯
- A100: 백마탄 왕자가 100번째로 프로포즈한다.
구하려는 값
P(B) 즉, 여자가 백마탄 왕자를 정확히 선택할 확률
이 확률을 최대로 하는 r의 값: 몇 번째까지 튕겨야 백마탄 왕자를 만날 확률이 높을까?
P(B) 구하기
P(B)를 조건부 확률로 표현하면
P(B)=P(A1)×P(B|A1)+P(A2)×P(B|A2)+...+P(A100)×P(B|A100)=∑k=1100P(Ak)×P(B|Ak)
인데, r번째까지는 튕기기로 했으므로 P(B|A1)=P(B|A2)=...=P(B|Ar)=0임은 자명하다. 또한 남자의 분포는 랜덤이므로 P(A1)=P(A2)=...=P(A100)=1100로 모두 같다. 이제 나머지 값들을 살펴보면 우선
P(B|Ar+1)=1임이 확실하다. r+1번째 백마탄 왕자가 프로포즈 하였다는 것은 당연히 그 이전에 r명의 남자보다 낫다는 뜻이므로 프로포즈를 OK하게 된다.
이를 토대로 P(B|Ar+2)를 구해보자. 이제부터는 생각을 좀 해야 한다.
만약 r+2번째 남자가 백마탄 왕자인데 r+1번째 남자가 기존 r명보다 괜찮아서 r+1번째 남자의 프로포즈를 Ok한다면, 여자입장에서 실패이다.
따라서 r+1번째 남자가 기존 r명의 남자보다 떨어지는 남자여야 할 것이다.
이를 다시 말한다면 r+1번째까지의 남자 중 제일 괜찮은 남자가 r+1번째 남자만 아니면 된다. why? r번째까지는 무조건 튕길거니까…
이 확률은 rr+1 이며 결과적으로
P(B|Ar+2)=rr+1
이제부터는 비슷하다. P(B|Ar+3)의 경우, 앞의 r+2명의 남자 중 r+1번 째와 r+2번 째가 그 전보다 괜찮은 남자이면 안된다. 즉, r+2명 중 제일 괜찮은 남자가 1∼r번째에 있으면 된다. 따라서
P(B|Ar+3)=rr+2
나머지도 마찬가지로 계산하면 P(B|Ar+4)부터 순서대로 rr+1⋯r99,r100이 되며 지금까지의 결과를 종합하면 P(B)는 다음과 같다.
P(B)=1100×(1+rr+1+rr+2+⋯+r99+r100=1100∑x=r100rx
P(B)를 최대로 하는 r의 값
시그마로 계산하면 복잡하므로 적분을 활용하여 근사값을 구하자.
P(B)=1100∑x=r100rx≃r100∫100r1xdx=r100×(ln100−lnr)
이 된다. 이것은 r의 함수이고 두번 미분하면 (-)인 위로 볼록한 함수이므로, 미분해서 0이 되는 r의 값이 P(B)를 최대로 하는 r의 값이다.실제로 P(B)를 r에 대해 미분하면
1100×(ln100−lnr−1)
이고 이를 0으로 만드는 lnr은 대략 3.605 이다. 즉,
r=36.787⋯
이다.
결론
남자가 100번 대시한다면 36번 정도 튕기는 것이 백마탄 왕자를 만나는데 유리하다.
10번정도로 예시를 줄이면 3∼4번만 튕겨라?
0 XDK (+10)
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