내 소식

오르비

태그

내 태그
입시
학습
생활
클럽
직업·취업
Epioptimus
Centurion
오르비 랭킹
XDK 누적 복권
XDK 경매
RARE

Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2021-06-05 10:47:31
조회수 2,249

공통 22번 순수 수식으로 어떻게 푸냐면

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00037881030

문제 첨부

풀이) a<b에서, (가)를 통해 f(x)=k(x-a)²(x-b) 또는 k(x-a)(x-b)²이 됨을 알 수 있다.(단, k는 0이 아닌 실수)


i) f(x)=k(x-a)²(x-b)

g(x)=x-f(x)이라 하자. (가)와 연계하여 생각하면, g(x)=a 또는 b인 실근의 개수가 총 3개이고, f'(1)=1에서, g'(1)=0이므로 

g(1)의 경계로 g(x)=g(t)꼴의 근의 개수가 달라진다. 


x=1에서 g(x)가 극값을 가지지 않으면 (나) 조건에 대한 모순이므로

g(1)=-3에서 g(x)=g(t)꼴의 근의 개수가 변화한다.


즉, a=-3 또는 b=-3가 된다.

g(x)=x-f(x)=x-k(x-a)²(x-b)=-k(x-1)²(x-2a-b+2)-3임을 알 수 있다. 계수비교법을 통해


1-k(2ab+a²)=-k(4a+2b-3), k(a²+2ab-4a-2b+3)=1

ka²b=-k(2-2a-b)-3, k(2a+b-2-a²b)=3


k를 나누면 2a+b-2-a²b=3a²+6ab-12a-6b+9,

a=-3이라 하면, -8b-8=72-24b, b=5, k=-1/16

따라서 f(x)=-1/16×(x+3)²(x-5)


b=-3이라 하면, 3a²+2a-5=3a²-30a+27에서, a=1에서 a<b 가정에 모순


g'(0)=1-f'(0)<0이므로 g'(x)=-k(x-1){(x-1)+2(x-2a-b+2)}=

-k(x-1)(3x-4a-2b+3)에서,

g'(0)=k(3-4a-2b)<0이고, k<0에서 3-4a-2b>0이므로 위의 식은 이를 만족한다.


따라서 f(0)=45/16에서 p+q=61


ii) f(x)=k(x-a)(x-b)²


i)와 같은 원리로 x-f(x)=x-k(x-a)(x-b)²=-k(x-1)²(x-2b-a+2)-3임을 알 수 있고, 계수비교법을 통해


1-k(2ab+b²)=-k(4b+2a-3), k(b²+2ab-4b-2a+3)=1

kab²=-k(2-a-2b)-3, k(a+2b-2-ab²)=3


같은 방법으로, b²+2ab-4b-2a+3=a+2b-2-ab²

a=-3 대입 시 b²-10b+9=3b²+2b-5, 2b²+12b-14=0

b²+6b-7=(b+7)(b-1)=0에서, a<b인 b는 b=1로 유일하다.


g'(0)=k(3-2a-4b)<0이므로 k>0에서 3-2a-4b<0이어야 한다.


허나 a=-3, b=1 대입 시 3-2a-4b=5>0이므로 조건에 모순


b=-3 대입 시 -8a+24=-8a-8이 되므로 이는 항상 성립하지 않는 부정식이다. 즉, 해당 경우의 함수는 실수 범주에서 존재하지 않는다.



i), ii)를 통해 해당 조건을 모두 만족하는 함수 f(x)는

f(x)=-1/16×(x+3)²(x-5)으로 유일함을 알 수 있다.


사실 조오금 더 머리를 쓰면 g(x)에서 y=b인 실근이 1개임을 이용해 판별식을 써서 풀 수도 있긴 합니다.



0 XDK (+0)

  1. 유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.

Evolved Slave II [872525]

쪽지 보내기

글쓰기
오르비 1455013번째 회원 되기
아이디 찾기 비밀번호 찾기

공부를 도와주는 학습자료

오르비 과외시장

2027 수능 D - 168

오르비 플레이
오르비 RARE
Move
our corporate site
Orbi Class
on-line classes
Orbi Books
educational books & resources
Gae9
humor and fun

© 2000-2026 Move Inc.

orbisoptimus (v17-cb0f87)