2022 예비시행 수학 22번 풀이
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풀이
함수 f를 보면 p,q가 자연수로 양수이므로 (0,q) 극대, (3p,q)에서 뚫는 삼차함수임을 알 수 있습니다.
(가)조건에서 f의 극솟값이 음수여야 합니다. 비율관계에 따라 x=2p에서 극소이고, 계산하면 q<4p^3입니다.
(나)조건을 보니 두 최댓값이 그냥 q, 즉 x=0에서 최대였으면 좋겠습니다. 생각하기 편하니까요..
[-1,1]에서 x=-1일 때 최대를 갖는 경우, |f(x)|의 개형을 생각해 보면 x=-1이하에서 감소함수로, [-2,2]에서 최댓값은 작아도 |f(-2)|보다 크거나 같아야 해 |f(-1)|보다 커서 모순입니다. 따라서 x=-1일 때는 최대를 갖지 않습니다.
[-1,1]에서 x=1일 때 최대를 갖는 경우를 생각해 봅시당
비율관계에 따라 f는 x=p에서 변곡점(삼차함수의 점대칭점)이고 x=2p에서 극소를 가집니다. 따라서 0~2p에서 f는 감소합니다. 그런데 p는 자연수이므로, 1≤p이고 2≤2p입니다.
즉 [-1,1]과 [-2,2]에서 0 오른쪽 부분은 f가 감소하기만 하고, 이 함수를 극대와 극소 사이에서 접어 올리면 0오른쪽에서 최대는 x=0이나 x=1 or 2에서일 수밖에 없습니다. 따라서 x=-1에서 최대를 가질 때 논리와 같은 방식으로 x=1에서도 최대를 가질 수 없습니다.
확인해보니 맞네요! x=0에서 최댓값을 q로만 가져야 합니다.
그래서 x=-1, 1에서 최대를 가지지 않음은 조건으로써 식을 뽑아내야 합니다.
[-1,1]에서보다 [-2,2]이 양쪽으로 더 퍼진, 넓은 구간이므로 양 끝값은 [-2,2]에서만 생각해도 좋습니다.
f(-2)나 f(2)가 양수인 경우 f=|f|로 x=0에서 당연하게 최대를 가지므로 문제되지 않습니다.
f(-2)나 f(2)가 음수인 경우 접어 올린 값이 q보다 작거나 같아야 합니다. 즉 -f(-2)≤q이고 -f(2)≤q 입니다.
이를 계산하면 q≥6p+4이고 q≥6p-4입니다. 이 둘의 공통 범위는 q≥6p+4입니다.
(가)에서 q<4p^3이고 (나)에서 q≥6p+4입니다.
세제곱해서 생각하는게 편하므로 p=1일 때부터 생각하면
p=1일 때 (가)에서 q=1,2,3이 가능한데 (나)에서 모두 모순입니다.
p≥2일 때 q는 1~25이 모두 가능함을 알 수 있습니다.
p=2일 때 q≥16이고 p=3일 때 q≥22이므로 10+4=14입니다.
왜 갑자기 수학을
과외하다 첫턴에 풀어버려서 자랑좀,,
부실한 풀이일수도 잇습니다 수학황들의 검토를 기다립니당
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수학황이 인증해주셧군요,, 감사합니다