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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 · 쪽지

2021-05-03 19:50:27
조회수 6,395

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ(180930 가형)

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00037464474

이번에 살펴볼 문제는 180930입니다. 당시엔 꽤나 어려웠던 30번으로 기억하는데 (약간 TMI이지만 저도 당시 현장 응시 때 이 문항 틀렸습니다.) 한 번 접근해보죠.


풀이) 최솟값이 x=k에서 g(k)로 주워졌고, h(x)>=0이므로 g(k)=0인 경우를 먼저 생각하자.


i) g(k)=0

h(k)=|g(k)-f(0)|=|0-(2+ln2)|=2+ln2=/=0=g(k)이므로 모순


ii) g(k)>0

h(k)=|g(k)-f(0)|=|g(k)-(2+ln2)|=g(k)이므로 0<g(k)<2+ln2임을 알 수 있다. 따라서 g(k)=1+1/2×ln2 (이 결론을 통해 항상 f(x-k)>g(x) 결론도 동시에 낼 수 있다.)


함수 f(x)와 이차함수 g(x) 모두 실수 전체에서 미분가능하므로 함수 h(x)가 실수 전체에서 미분가능함을 알 수 있다. 이 상황에서 함수 h(x)가 y=g(k)>0에서 최소를 가지므로 x=k에서 극소를 가짐을 알 수 있다. 


h(x)=f(x-k)-g(x)이므로 h'(x)=f'(x-k)-g'(x)에서, h'(k)=f'(0)-g'(k)=0이므로 g'(k)=f'(0)=5/2임을 알 수 있다.


구간 [k-1,k+1]에서 최대를 알려주었으므로 h(k-1)와 h(k+1)에서 대소 비교를 하자.


h(k-1)=f(-1)-g(k-1), h(k+1)=f(1)-g(k+1)


h(k+1)-h(k-1)={f(1)-f(-1)}-{g(k+1)-g(k-1)}=f(1)-f(-1)-2×g'(k)=f(1)-f(-1)-5=(2e+ln(1+e))-(ln(1+1/e)+2/e)-5=2e-4-2/e의 부호를 판별하는 문제가 된다. 


문제 조건에서 5/2<e<3이므로 (2e²-4e-2)/e에서, m(x)=2x²-4x-2=2(x-1)²-4라고 하면 x>1+sqrt2인 지점에서 m(x)>0이므로 1+sqrt2<5/2<e에서, m(e)>0이므로 h(k+1)>h(k-1)임을 알 수 있다.


따라서 최댓값은 h(k+1)=f(1)-g(k+1)=2e+ln(1+e)-1/2×ln2이므로 g(k+1)=1/2×ln2이다.


이 때, g(x)가 이차함수이므로 g'(x)가 일차함수가 된다.


따라서 g(k+1)-g(k)=g'(k+1/2)×1=-1이고, g'(k)=5/2이므로 g'(k-1/2)=2g'(k)-g'(k+1/2)=5+1=6이므로 답은 6이다.



사실 이 문제는 누가 봐도 그냥 그래프 그려서 푸는 게 빠른 문제였고, 의도도 그랬을 것으로 보이지만 순수 수식으로도 풀 수 있음을 보이기 위해 이렇게 풀어봤습니다.

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