ㅎㅎ풀어주삼/1!수2삼각함수

ㅜㅠ왜아무도없지ㅠ

답은 a가 - 루트8 보다 작거나 같다 또는 a가 루트8 보다 크거나 같돠 인거 가슴돠

흠.....아니에요

문제를 이렇게 바꾸는게 좋을 것 같네요

0 ≤ x ≤ 2π 일 때 삼각방정식 ㅣasinx+cos2x l = 2 가 서로 다른 5개의 실근을 갖도록 하는 양수 a의 값은?
1)1 2)2 3) 2루트2 4)3 5)4

a≤-1, a≥1 이 답입니다. 확인해주세요.;
그냥 덧셈정리 빼고는 수학(하) 근의분리 문제네요.

그런데 좀 다른 시각으로 접근해보면 sin이랑 cos 모두 절댓값이 1보다 작거나 같기 때문에
두 합의 절댓값이 2가 되려면 제가 구한 답은 찍어서 예측할 수도 있을 것 같네요.;
물론 전 근의 분리로 풀었습니다.

답은맞추셨고 풀이좀올려주세요ㅎㅎ

풀이.(그래프 개형으로 풀어봤습니다.)
y=cos2x그래프를 구간 0≤x≤2π 까지 그려보세요.('파이' 찾느라 혼났네.;)
그럼 2주기를 그리게 될 겁니다.
그리고 y=asinx도 0≤x≤2π 까지 그리는데 이건 a의 부호에 따라 그래프 개형이 달라집니다.
i) a>0일 경우에는 그래프를 제대로 그리셨다면 cos2x+asinx가 x=1.5π에서 최솟값 -a-1을 갖는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 절댓값을 씌운 함수는 최댓값 a+1을 갖게 되는데 그 그래프가 y=2와 만나야 하므로
2≤a+1 을 만족해야 근을 가질 수 있습니다. 따라서 a≥1이고 이는 a>0이라는 조건을 만족합니다.

ii) 똑같은 방법으로 a<0일 경우도 생각해보면 cos2x+asinx는 x=0.5π에서 최솟값 a-1을 갖게 되구요. 절댓값을 씌운 함수는 최댓값 1-a를 갖게 됩니다. 또 이 그래프가 y=2와 만나야하므로 1-a≥2를 풀면 a≤-1 입니다.

iii) a=0일 경우에는 절대 근을 가질 수 없다는 것을 아주 쉽게 알수 있구요.
따라서 a≤-1, a≥1 입니다.

설명을 위해 주저리주저리 써놓긴 했습니다만 실전에서 이렇게 풀이를 하게 된다면 그래프개형만 그리고 부등식만 써서 풀면 되겠네요.

처음에 이런 방법으로 접근한 건 아닌데요... 그래프 그리니까 답이 한번에 보여서 써봅니다. 다른 방법은 '연가시' 님이 밑에 잘 써주셨네요.

흠 삼각함수나오면 무조건치환
해서 풀었었는데
신선한풀이감사합니디ㅎㅎ

아 실수 윗분답이 맞습니다..

cos 2x = 1 - 2 sin²x 을 대입하고 절대값을 벗기면

2 sin²x - a sinx -1 = ±2

sin x= t로 치환하면 t는 -1 ≤ t ≤ 1 의 범위에서 근을 가져야 합니다.

　　2 t ²- a t -1 = ±2　　(-1 ≤ t ≤ 1)

① 2 t ²- a t -1 = - 2 와 ② 2 t ²- a t -1 = 2 로 나누어 각각 생각해보면

① 2 t ²- a t -1 = - 2
2 t ²+1 = at

미분을 이용하면 y= 2 t ²+1 와 y=at 는 a가 ±2루트2 일 때, t= ±1/루트2에서 접함을 알ㅅ 있고

t= ±1/루트2 가 -1 ≤ t ≤ 1를 만족하므로 a가 2루트2보다 크거나 가거나 -2ㄹ트2보다 작거나 같아도

계속 -1 ≤ t ≤ 1 범위의 근을 가짐을 알 수 있음.


② 2 t ²- a t -1 = 2

2 t ²- 3 = at 가 -1 ≤ t ≤ 1 범위의 근을 가지려면

y= 2 t ²- 3 위의 점들 중 (-1, -1)과 (1,-1) 사이를 y=at가 지나면 됩니다.

=>a는 1보다 크거나 같고 a는 -1봐 작거나 같다.
이를 ①에서 나온 결과 과 교집합시켜도

a는 1보다 크거나 같고 a는 -1봐 작거나 같다.
이므로 답은 이거

정말깔끔하네요ㅎㅎㅎㅎ 덕분에많이알아가요
감사합니다~