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Inspector Javert [1005325] · MS 2020 · 쪽지

2021-02-22 22:36:44
조회수 4,956

수학 1의 기하학-각이란 무엇인가?

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00036413004

이 내용은 기하라기 보다는 수학 1에 가깝다.

다만 기하학 역시 크게 포합하니

다들 읽어 보기 바란다


저는 


2020학년도 모든 교육청 평가원(수능 포함) 시험에서 

현장 응시하여 기하와 미적분은 단 한 문제도 틀리지 않았고

(이땐 미확기가 모두 출제되었습니다)

확통 한 문제를 7월에 틀렸습니다.

다양한 시험지를 검토했고

다양한 제의를 받았고

지금은 그냥 글 쓰고 대학 공부 하고 영화를 즐기는 사람입니다.


팔로와 좋아요는 큰 힘이 됩니다.


질문+반박 환영입니다.





각이란 무엇인가?


이에 대한 직접적인 질문을 받은 바는 없을 것이다.


각이란 중학교 2학년까지만 해도 각도기로 재는 것, 또는 작도에서 사용되는 것 수준에서 그쳤다. 하지만 중학교 3학년에 삼각비를 배우면서 비로소 각 역시 계산의 의미에 포함된다.

하지만 여전히 문제로 남는 것은 각은 무엇인지에 대한 것이다. 



각은 가장 기본적으로는, 각도기로 재는 것이다. 그렇다면 각도기로 재는 각은 무엇인가? 각도기에서 차지하는 정도이다. 

그렇다면 각도기에서 각이 차지하는 정도는 무엇인가? 그것은 각이 나타내는 호의 길이이다. 

즉 각은 그 자체로서 길이가 되기도 한다.


한편, 삼각비에서 말하는 각은 무엇인가? 그 자체로 길이라기보다는 각은 얼마나 직선이 기울어져 있는지에 대한 비율을 나타내는 도구에 가깝다. 그렇기에 각은 그 자체로서 기울기가 되기도 한다.


이렇게 교육과정에서 나타내는 각은 기울기이자 길이이다. 


재미있게도 이런 두 각의 의미는, 각을 진정한 계산의 의미로 끌어올릴 때 한번 더 사용된다.


각이 그 자체로서 길이이기에 호와 중심각 간의 관계가 나타나며, 원주각의 성질로 인해서 원주각의 크기와 호의 길이 역시 깊은 연관성을 가진다. 


원주각이 a이고 반지름이 r인 경우, 그때 원주각이 나타내는 호의 길이는 2ra로 나타난다.


하지만 이런 생각을 할 수 있다. 호의 길이라는 것은 계산에서 유용한가? 조금만 생각하면 그렇지 않다는 사실을 알 수 있다. 오히려 유용하면서 호와 같은 의미를 나타낼 수 있는 것은 현이다. 그렇기에 우리는 호에 대한 계산이 아닌 현에 대한 계산을, ’보다 유용한 호‘ 로서 나타내고자 하는 것이다. 그런 점에서

사인 법칙은 그 자체로서 각의 길이로서의 의미를 나타내는 것이라 하겠다.


하지만 코사인 법칙은 어떤가? 코사인 법칙은 그 자체가 이미 피타고라스 정리의 확장으로, 직각이 아닌 경우, 즉 각이 얼마나 벌어져 있는지를 따져서 길이를 계산하는 것이다. 

그렇기에 코사인 법칙은 각의 기울기로서의 의미를 나타낸다.


이것이 어떤 의미가 있는가?


예를 들어 보자.


일반적으로 


삼각형에서 각과 길이가 마주 보는 경우


외접원과 삼각형이 주어진 경우


사인 식이 주어진 경우


에 사인 법칙을 떠올리자~! 


라고 한다. 이런 접근도 괜찮다. 

하지만 


사인 법칙은 각의 길이에 대한 관점인데,

각이 나오고 그에 대응하는 길이가 나오니 당연히 사인법칙이고,

외접원과 삼각형이면 외접원이 각을 길이로 바꾸는 도구이므로 사인법칙이 떠오르고,

사인 식은 사인법칙으로 자연히 연결되지 않겠는가?


더욱이 저렇게 일반적인 것 외에 


세세히 정리하기 힘든 각 문제마다의 “발상” 까지도

사인법칙 단독에 대한 경우에 있어서는 쉽게 생각해 낼 수 있고


복합적인, 이른바 신유형의 경우에도

본질적인 발상의 접근에 힘입어 더욱 간단하게 발상을 생각할 수 있을 것이다.


코사인 법칙의 경우에도 마찬가지이다.


이처럼 기하에서 특징적인 것은 발전된 흐름을 따라서 봐야 하는, 어찌 보면 당연한 도구들에 대한 생각이 있다는 것이다.


이런 도구에 대한 본질적 이해와 집합적으로 발상을 떠올리는 방법이 합쳐져 

기하의 고정 100이 가능해진다.



3줄요약


1) 사인법칙=각의 길이로서의 의미 코사인법칙=각의 기울기로서의 의미


2) 저렇게 넓게 법칙을 이해하면 발상 접근하기 쉬움


3) 이런 식+집합론이 기하의 본질이라 할수 있음

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