벡터=좌표라고 생각하면 큰 낭패
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[기하 선택자(또는 수리논술대비)를 위한 칼럼]
기하, 즉 도형에서 가장 중요한 것은 점이에요.
모든 도형은 점으로 이루어져 있기 때문이죠.
도형에 대한 연구는 고대 그리스 시절부터
아주 활발하게 이루어졌습니다.
직선, 각, 삼각형, 원 등 우리가 알고 있는
평면도형에 대한 대부분의 성질은
무려 2천년전에 유클리드님이 다 정리해 놓으셨다죠.
그런데 미친넘천재 유클리드도
정의하지 못한게 하나 있으니
그것은 바로 '점의 위치'입니다.
우리가 중학교때까지 배우는 도형들은 위치가 없죠.
그냥 어딘가에 있는 삼각형, 원 이렇게 배우잖아요.
고등학교 수학에서
점의 위치를 나타내는 방법을 두 가지 배우는데,
첫번째가 좌표로 점의 위치를 나타내기
두번째가 벡터(두두둥장)로 점의 위치를 나타내기
이 두가지는 아예 개념이 달라요.
그림으로 표현하면 아래와 같습니다.
1. 점의 위치를 x, y 좌표로 나타내는 방법.
익숙하죠?
모든 점의 위치를 원점을 기준으로 생각하는 것이죠.
생각해서 존재하는 데카르트님이 좌표평면을 떠올렸다네요.
2. 점을 가리키는 벡터를 이용해서 나타내는 방법
원래 벡터는 위치가 아니라 크기와 방향으로만 정의가 되는데
모든 벡터의 시점을 통일시키기로 약속하면 한 점과 어떤 벡터는
반드시 일대일로 대응이 되는거죠.
이걸 점의 위치벡터라고 합니다.
따라서 그냥 위치벡터가 아니라,
점A의 위치벡터, 점B의 위치벡터인거에요.
그럼 좌표로 하면 되지 뭐하러 굳이 왜 벡터로 점의 위치를??
이라고 생각할 수도 있겠네요? 그 이유는 뭘까요?
벡터로 하는게 편한 경우가 있어서에요.
좌표로 점의 위치를 나타내면 원점을 기준으로 해서
점의 위치를 절대적인 값으로 나타냅니다.
그런데 점의 절대적인 위치를 알고 싶은게 아니라
이 점이 쟤랑 걔 사이에 정확히 중간에 있어.
아니면 얘는 쟤랑 거리가 몇이래.
이런걸 표현하고 싶다면? 굳이 좌표가 필요없어요.
점들 사이의 상대적인 위치만 있으면 되니까요.
이럴 때는 벡터가 훨씬 편하네요.
예) 점P는 점 A와 점 B의 중점이다.
이걸 
이런 식으로 표현할 수는 없겠죠?
그런데
벡터로 표현하면
이렇게 표현을 할 수 있어요.
점은 연산이 안되지만 벡터는 연산이 되니까요.
직선이나 원 같은 도형의 방정식도
위치벡터로 나타내면 훨씬 편리하답니다.
물론 벡터의 용도는 여러분의 상상 이상으로 훨씬 더 많아요.
여러분이 즐겨하는 게임에서
벡터가 광범위하게 활용되기도 하죠.
그리고 대학에서 배우는 벡터는
평면기하와 별로 상관이 없는 추상적인 개념이고....
설명하자면 끝도 없는데
일단 평면벡터만 생각해서 예시를 들어봤어요.
[결론]
여러분이 기하 선택자라면 (그래서 읽고 있겠지만)
위치벡터의 개념부터 제대로 잡고 시작하세요.
만약 위치벡터를 이해 못하면,,,,,
갑자기 나오는 벡터에,,, 도대체 이걸 왜 배우는건지,,,
삼각형 평행사변형, 그림놀이 열심히 하다가
갑툭튀 등장하는 내분점 공식같은걸 보면서 이건 또 뭐지...
배운건데 왜 또 나오지.... 그러다가 준킬러님 두두둥장
하시면 손도 못대는 경우가 생겨요.
기하에서는 30번 레벨 벡터문제까지
반드시 맞추도록 대비해야겠죠?
그래야 미적분 선택자에게 불리하지 않으니까요.
벡터는 확실히 잡고 갑시다!
------
여기까지는 정보성, 아래부터는 잠시 상업성을 띠는 점 양해부탁드리며...
[수업안내]
저는 솔직히 올해 수업 준비하면서
기하는 안해도 될까? 생각을 했더랬죠. 별로 없을거 같아서요.
그런데 기하수업에 대한 학생들의 문의가 엄청 많은걸 보니
수능 대비용 현강이 별로 없는 듯 해요~
그래서 기하를 개념부터 기출까지 풀버전 진행하기로 했습니다.
장소는 대치오르비! 시간은 매주 화요일 6-9시!
현장강의 + 라이브 입니다.
2월 <알고리즘- 기하>
4주간의 컴팩트 개념 완성 (노베 가능)
3월 <레퍼런스 - 기하>
4주간의 기출 순한맛 완성
(이후에는 약간 매운맛 예정입니다.)
2월부터 다 들으면 총 2번의 싸이클을 돌게 되니까
2달만 들어도 기하에 대한 감이
확실하게 잡힐 거라는거 자신있게 말씀드릴게요.
지난 2월 수업은 영상으로 수강가능하니까 기출과 병행해도 되요.
물론 기출부터 바로 시작해도 되구요.
이번 <알고리즘 - 기하>에서 벡터 수업 듣고
학생들이 신세계라고 감동했더랬죠.
기하러는 다들 오세요. 제가 끝까지 책임지겠습니다.
수강등록 링크
https://forms.gle/mPnn1kZhEUpNbxZd8
기하 말고도 수2/삼차함수 등 수업이 많으니 클릭해서 보세요~
평면도형과 도형의 방정식을 총정리하는
<아름다운 시작 - 도형>도 강추입니다!
문의 : 대치오르비 02-3454-0207
/ 010-6705-0209 (문자가능)
칼럼이 도움되셨다면 좋아요와 팔로우 부탁드릴게요.
꿈과 희망의 상승효과
수학강사 이승효였습니다 :-)
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궁금했던건데 신기하네요...
오호~ 그렇군요 :-) 궁금했던게 뭔가용
기하 시작한지 얼마 안됐는데 좌표있는데 벡터가 무슨 용도인지, 위치벡터는 정확히 뭐하려고 쓰는건지 궁금했는데 벡터는 연산이 되니까 쓰는 거였네요
적절한 칼럼이었군요~ 또 질문 있음 남겨주세요 :-)
벡좌해~ 벡좌해~
고고~
위치벡터가 점과 벡터를 일대일 대응시키는 tool(?) 이라는 걸 망각하는 경우가 있더군요. 그런 점에서 유용한 글인 것 같아요ㅎㅎ 항상 글 잘 보고 있읍니다
좋은 댓글 감사합니다 ^^
제가 수업할 때 강조하는 내용이랑 똑같아서 반갑네요. 수상에서 내분 외분 무게중심 구하는거 보면 점끼리 연산할 수 있는 것 같지만 점끼리 더하고 빼고 실수배한다는 개념은 있지도 않고 생각하려 해도 어색하기 그지 없다.
하지만 시점을 원점으로 원점을 종점으로 잡는 순간 벡터가 되어 모든 게 자연스워지죠. 점의 연산이 이상하고 어색하니 시점 잡아버려서 모든 것을 호환시키는 식의.
이는 벡터의 덧셈과 뺄셈이 성분을 통해 재정당화되며, 실수배를 통해 시점과 종점을 지나는 직선 위에 실수배된 벡터가 모두 나타나므로 실수배의 의미 또한 재정당화되며, 실수배와 덧셈뺄셈을 합쳐버리면 내분 외분으로 두 종점을 지나는 직선을 모두 설명할 수 있다는 것을 통해
한 직선 위에 있지 않은 세 점(공통원점과 각 종점)에서의 상황 3C2개를 모두 연산을 통해 이야기할 수 있게 해주죠.
그렇군요~ 댓글 감사합니다.