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Inspector Javert [1005325] · MS 2020 · 쪽지

2021-02-12 18:10:33
조회수 10,082

칼럼) 수능 수학에서 수열이 무엇인가

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00036162918

2020학년도 수학가형 고정100

학원(정확하게는 3곳에서 단과/시강 제의)

논술 조교+첨삭

수리논술 2곳 최초합

검토 다수

등



수열이란 무엇인가?


수열은 정의역이 자연수의 부분집합이고, 공역이 복소수인 함수이다.


수열에 대해서 많은 이야기를 할 수 있다.

최소 상계(A.K.A Sup()) 이나 최대 하계(Inf()) 에 대해 이야기할 수도 있고(물론 실수열 한정이겠지만) 덧렬에 있어서는 리만 합과 관련된 온갖 장황한 이야기를 끌어놓을 수 있다.


그렇다. 이러한 이야기들이 수학에서 수열을 다룰 때 주요한 쟁점이 된다. 

하지만 나는 저런 이야기를 하려는 것이 아니다. 내가 오늘 하고 싶은 건

수능에서 수열이 어떤 의미를 가지는지에 대한 것이다. 


수열은 위에서 나오듯, 본질적으로 함수다. 다만 연속함수는 아니다.

그렇기에 수열에는 기본적으로 미분이라는 가장 강력한 해석적 도구를 사용할 수 없다. 

증분을 통해서 미분을 어느 정도는 구현할 수 있겠지만, 


과  중 어느 것을 선택해야 하는지의 문제부터 시작해서, 정의할 문제가 상당히 많다. 다시 말하면 수열 문제는 일반적인 함수 문제와 방식 자체가 다를 수밖에 없다.

그래서 일반적으로 수열 문제에 주어지는 조건은 수열의 정의와 관련된다.

애초에 수열이라는 함수에 대해서는 줄 수 있는 정보의 종류가 한정되기에, 직접적인 표현 역시 애매하기 때문이다. 이러한 사실을 보고 다음 문제를 생각해 보자. 


본인은 그냥 a_15를 a_14에 대해 정리한 후, 그것을 다시 a_7로, a_3으로, 그리고 여기에서 a_2n+1-a_2n=-3임을 이용해 그를 a_2에 대해 정리해 가면서, 즉 어찌 보면 일반항을 반쯤 사용하고, 반쯤은 나열해 가면서 문제를 풀었다. 


내 풀이에서도 알수 있겠지만, 수열은 마땅한 해석 도구가 없고, 그렇기에 가장 효율적으로 연산을 하는 것이 관건이다.



사실 위 문제를 보고 일반항을 구한다고 생각할 수도 있을 것이다. 물론 그 방법도 맞다.

하지만 생각을 해 보자.

수열은 정의역이 자연수의 부분집합이다. 우리가 일반적으로 생각할 수 있는 다양한 해석적 도구들이 여기에 적용되지 않는다. 그렇기에 문제에서 수열의 정의로 문제를 낸다.

이것이 말하는 바는? 그렇다. 기본적으로 최대한 조건을 해석하려 해야 하지만, 이것이 기본적으로 조건의 해석적 의미를 묻는 것은 아니라는 점을 항상 인지하고 있어야 하는 것이다. 


하지만 해석적 도구의 결핍은 이것이 일반적인 나열을 통해 항상 효율적으로 풀리는 것이 아님을 의미하기도 한다. 

보다시피 수열은 적당한 해석 도구가 없기에 기본적으로 함수의 값을 찾는 문제로 많은 것들이 회귀될 수밖에 없으며, 그렇기에 기본적으로 연산의 형태를 띠게 된다. 이런 연산이 문제화될 경우 가장 중요한 것은? 속도다. 이런 속도를 추구함에 있어 일반항을 구하는 것이 아주 좋은 돌파구가 될 수 있다. 등비수열+상수 꼴의 수열에 대한 점화식이 주어졌는데 그것을 일일이 구하는 것보다 점화식을 풀어 일반항을 바로 구하는 것이 훨씬 효과적인 것을 예로 들수 있겠다.


결론적으로 말하면 수열의 뿌리가 어디에 있는지를 묻는다면 나열에 있다고 하겠지만, 그것이 문제를 풀 때 가장 좋은 태도는 아니라고 할 수 있다. 항상 문제를 풀 때 수열의 의미를 생각함과 동시에 그것을 풀 수 있는, 정확하게는 연산을 논리적이고 빠르게 할 수 있는 방법에 대한 탐색을 멈춰서는 안 될 것이다.

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