Cantata님 2014 B형 모의고사 푸신 분들 28번 헬프좀요

Question

28번 벡터문제  못풀겠어요 ㅜㅜ도와주세요 올비 수학고수님들

syzy · Accepted Answer

(점A,B고정된 상태.) 중심이 P인 구가 A,B 다 지난다는 말은, PA=PB라는 뜻이니까, 선분AB의 수직이등분면(평면 알파라고 부를게요) 위에 점P가 있다는 이야기지요. (AB의 중점을 지나고, AB에 수직인 평면 위에서 점P가 돌아다니고 있는 거에요.)

벡터PA+벡터PB = 벡터PQ 는 사각형PAQB가 평행사변형이라는 이야기고요(사실 마름모), 따라서 Q도 평면 알파 위에서 돌아다니고 있어요. Q가 O에서 가장 가까우려면 원점O에서 평면 알파에 내린 수선의 발이 Q가 될 때이겠지요. 이 때 PA=QA=PB=QB니까, QA의 길이가 구의 반지름과 같음!

이등변삼각형QAB에서 QA 길이 구하려면, AB의 중점M이라 할 때

QA = 루트(QM^2 +AM^2)

QM길이 구하기 --- OQ // AB이므로 Q에서 AB에 내린 수선의 길이(=QM)나 O에서 AB에 내린 수선의 길이나 같으니, 결국 O에서 직선AB에 내린 수선의 길이 구하면 됩니다.  계산해보시면 QM=2. 따라서 QA=루트(2^2 +3^2 ) = 루트13. 답은 13.

엘라스틴머리 · Answer

syzy 님 풀이가 가장이상적이지만 조금 다른관점으로도 풀수있겠네요.. 좀지저분하기도하고 허접하지만 .. 한번올려볼께요  완전히 수식풀이라고할까요 ?
벡터PA + 벡터PB = 벡터PQ 를 바꿔요 양변에 2분의 1을하면 AB의 중점을 M이라고 하면 벡터PM=2분의벡터PQ가 되잖아요 그랬을때 M=(2,0,2) 가되요 일단 여기까지 구해놓습니다.
①P=(a,b,c) 라고하게되면 선분PA=선분PB 죠 그식을 세우게되면 a-2b+2c=6 이나올꺼예요
②처음에 바꿔논 관계식을 쓰게되요 PQ의 중점이 M이되는거잖아요 그래서 Q좌표를 구하게되면 Q=(4-a,-b,4-c)가 됩니다 선분OQ의 길이를 나타낼수있고 그식은 루트{(a-4)제곱+(b)제곱+(c-4)제곱}이 되요 그런데 선분OQ 가최소가될때를 구하고자 하기때문에 뒤에 =루트k를 붙여줍니다. 그럼 양변제곱하면 구형식의 식이죠 ?
①②를 모두 만족시켜야하는 (a,b,c)고 선분OQ가 최소가 되야하기때문에 평면과 구가 접하는 형식이되야되요.그런데 사실 접하는것에서 k값을 굳이 구할필요는 없습니다. 왜냐하면 접점(a,b,c)를 구할꺼니까요 위에서 구,평면 막이리저리 말했지만 사실 (a,b,c)는 구와 평면을 모두 만족시켜줘야하는 점이예요 그렇게되면 구와 평면이 접하는 그림을 그린후에 적절히 계산해주면 접점은 (10/3 , 4/3 , 8/3 )  = (a,b,c) 가되겠졍 그르면 이제 선분PA를 구하거나 선분PB 아무거나 구해도 답을 낼수있어요^^

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