수리영역 기출문제의 논리적 접근 (11년 수능)

Question

지수/로그함수 그래프 해석 문제 중 극악의 난이도를 자랑하는 걸로 유명한 문제입니다.

일단 수능적으로 접근해본다면

ㄱ 보기는 '초월함수에 관한 방정식의 일반적인 해법은 없다.' 라는 사실을 통해 의 값을 직접적으로 구할 수 없음을 알고,

주어진 근방의 값은 (1/2)과 1을 그래프에서 대입하여 대소를 비교해보면 됩니다.

'초월함수에 관한 방정식의 일반적인 해법은 없다.'는 것을 알면 그 방정식의 특정값을 구하려는 불필요한 시도를 피할 수 있습니다.

실제로 올해 13년 6월 평가원 30번 문제도 위와 같은 사실을 바탕으로, f(n) 값을 구하려할 때

n을 대입하여 a를 구해나가려는 것보단 a값을 설정한 후 f(n)값을 구하는 것이 더 효율적이라는 판단을 할 수 있었습니다.

또한 위의 문제와 같이 지수/로그함수 그래프 해석문제에서 어떤 상수와 교점의 x,y좌표값을 비교하려할 때도

이런 생각을 가지고 접근한다면 시간을 많이 절약할 수 있을 것입니다.

ㄴ 보기는 지수함수와 로그함수의 역함수 관계를 빨리 알아채는 것이 핵심이었습니다.

실제로 이 해의 6,9월 모의평가에서 지수함수와 로그함수의 역함수 관계를 파악해야 하는 문제가 모두 나왔고

그게 그대로 수능까지 연결되어 나왔습니다. 학생들이 그 해 치르는 6,9월 모의평가의 분석이 얼마나 중요한 지 알 수 있는 부분입니다.

ㄷ 보기는 ㄴ에서 알아낸 역함수 관계를 그대로 이용하여 문제를 해결합니다. ㄱ ㄴ ㄷ 연관성을 파악해야 하는 문제죠.

(이 문제에서는 ㄱ이 독립적이긴 합니다.)

그리고 이런 부등식을 해석할 때는 항상 '기울기'를 염두에 두고 있어야 합니다.

지수/로그함수 그래프 해석문제의 난이도가 급격하게 올라갈 수 있는 부분이 바로 이 '기울기로의 해석'이기 때문에

어떤 식으로 응용되는지 연습을 통해서 꼭 익혀보셔야 합니다.

(하지만 요즘은 이 패턴의 문제가 많이 사라지는 추세이기 때문에 너무 많은 시간을 투자하시는 것은 비추입니다.)

ㄱ ㄴ ㄷ 보기의 연관성이 있는지 없는지 파악하는 부분과 대소관계를 '기울기'로 해석해보는 안목을 이 문제로써 알아가시면 되겠습니다.

이제 이 문제의 논리적 해석을 시작해보겠습니다. ㄴ 보기는 역함수 관계라는 것만 밝혀주면 딱히 비약없이 논리가 진행됩니다.

따라서 그래프에서만 확인해보았던 ㄱ 보기와 ㄷ 보기를 어떻게 엄밀하게 푸는지를 소개해보겠습니다.

이 증명의 아이디어는 ㄱ 보기를

로 바꿔서 생각하는 겁니다. 이렇게 생각하면 중간값의 정리를 사용해야한다는 생각이 바로 들기 때문에 쉽게 증명할 수 있습니다.

참고로 위의 방정식의 근이 유일하다는 것을 그냥 넘어갔는데, 문제의 조건이 그래프로 주어져있고,

그래프에서 근이 유일함을 확인할 수 있기 때문에 증명을 따로 하지는 않았습니다.

그러나 만약에 이 부분을 증명해야 한다면

가 감소함수이면서 ((1/2),1)를 포함하는 어떤 구간을 잡아서 보이면 됩니다.

감소함수 f(x)가 0이 되는 x는 하나밖에 없음이 자명하기 때문입니다.

참고로 유일성에 대한 증명은 그 요소가 2개가 있다고 가정한 후 결과적으로 그 2개가 같음을 보이면 되는데,

제가 이 글을 연재하면서 보니 아까처럼 함수를 가지고 와서 그 함수가 증가 또는 감소임을 이용하는 것도 많은 거 같습니다.

그래프에서는 기울기로 확인한 것을 함수로 만들어서 확인해본 겁니다.

함수로 만드는 사고과정을 정리해보자면 (1,0)과 이어지는 점들을 여러개 조사해보면서 기울기의 값의 변화 양상을 추론해보고,

그 양상이 감소임을 알아채서 그것을 함수로 만든 겁니다.

여기서 f'(x)는 부호판별만 하면 되니까 g(x)라는 함수의 부호가 어떻게 되는지만 보면 되는데,

공교롭게도 g(x)>0라고 나와주네요.

이를 통해 증명에는 직관이 전혀 쓰이면 안 되지만, 증명을 시작함에 있어서는 직관적인 안목이 아주 중요함을 알 수 있을 겁니다.

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저번에도 이런 글을 하나 올렸는데 앞으로 자주 올려볼게요.

좋은 실력은 아니라서 여기서 검토 좀 받고 다듬어야 할 필요성을 느꼈습니다.

오류 있으면 지적해주세요 감사히 받겠습니다.

P.S 블로그에도 이 글을 연재하고 있는데 현재 10편 정도 작성했습니다.

블로그에 올려놨다가 어느 정도 정확성이 있다고 판단 되면 오르비에도 올리려고 하는데

혹시 시간 남으신다면 들러서 의견 나눠받았으면 좋겠네요.

그리고 이외의 어떤 질문도 다 받습니다 ㅇㅇ

∬이중적분 · Accepted Answer

사소한 질문인데요, 저 문제는 가형, 나형 중 어디서 나왔나요?

∬이중적분 · Answer

사소한 지적 하나 하자면, '이를 조금 더 엄밀하게 증명하기 위해서 극한의 가장 기본적인 판정법인 비교 판정법을 통해 확인해보려고 했습니다.'라는 문장에서 '비교 판정법(Comparison Test)'은 무한급수의 수렴을 판정하는 방법입니다. t/e^t의 극한값을 구하는데 사용된 방법은 '샌드위치 정리(Sandwich Theorem)'고요. 그것만 제외하면 잘 쓴 글인 것 같네요. 본받고 싶어요. ㅋㅋ 다음 글 기대하겠습니다!

미푸른 · Answer

오 ㅋㅋ 이런글 좋아요 !!

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