문제풀때 개념 질문드려요..

Question

수1복습하는중에 지수방정식3^(2x) - 3^(x+1) = a가 서로다른두실근을갖도록하는 a값의 범위를 구하여라. 라는문제였는데요
다른문제에선사용하지않던판별식개념을 저문제에만 판별식을사용하더라구요.. 풀이를봐도 뜬금없이 판별식으로 양의두실근을갖게하는범위도 답에 추가되길래 이해가안됐었는데
서로다른두실근 이란 말땜에그런것같아요.. 그 조건을 추가하지않아서 틀렸는데 문제풀때저런조건을자주놓치는데 고1수학개념이 좀부족해서 문제풀이할때 고1수학개념을끌어와야되는문제는 자꾸틀리는데요ㅠㅠ
고1수학개념완벽하게다시복습하는게나을까요?

syzy · Accepted Answer

3^x = t 라고 두면 문제의 식 --> t^2 -3t -a = 0 이 됩니다.

원래의 식에서 x가 서로 다른 두 실근을 가지게 된다는 것은, t에 대한 방정식에서 t가 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다는 것과 동치입니다. (3^x = t 라서 t는 항상 양수이므로..)

따라서 t^2 -3t-a =0 이 서로 다른 두 양의 실근을 갖을 조건을 찾는 문제입니다.

f(t) = t^2 -3t-a 라 할 때,

1) 일단 y=f(t)라는 이차함수가 최소한, 서로 다른 두 실근을 가져야 하는 것은 당연하므로 (양의 실근도 실근이니까요), 판별식 > 0 이 필요합니다. 9+4a>0

2) 서로 다른 두 실근을 갖는 것만으로 양의 실근임을 보장할 수 없습니다. 양의 실근이려면 이차함수y=f(t) (아래로 볼록)가 t축 아래로 내려가는 부분이 1,4사분면쪽에 위치해야 하므로 축의 방정식 t=3/2 의 그래프가 1,4사분면쪽에 위치해야 합니다. 즉, 3/2 >0이어야 합니다. 근데 이는 이미 자명히 성립합니다. (여기서는 새로운 조건식이 안 나오지요.)

3) 끝으로 '축이 양수쪽에 있다, 판별식이 양수다' 라는 조건 만족한다해도, f(0) = -a 가 0이하면 안 됩니다. (그러면 0 이하의 실근도 가져버리니까..) 따라서 f(0) = -a >0

1,2,3)으로부터 -9/4 0라는 조건을 암묵적으로 남기니까요. 이런 조건을 잘 캐치하시면 될 거 같습니다. 그리고 이차함수 그래프 배치 테크닉도 문제를 몇 개 풀어보셔서 잘 익히시는 게 좋고요.

개념을 완벽하게 복습하시는 것보다, 이렇게 문제를 풀면서 모르는 부분이 나올 때마다 그 개념 하나하나만이라도 완벽하게 익히자.. 라는 마인드로 하는 게 더 좋은 거 같아요. 모르는 게 조금 나왔다고 '아.. 다시 첨부터 다 복습해야 하나..' 이렇게 생각하지 마시고, '일단 이 부분만이라도 잘 이해하자..' 생각하고 해보세요. 물론 그 부분의 개념만 이해하고자 해도 더 앞부분을 일부 더 공부해야 하는 경우도 있으니, 그 정도까지는 보셔야겠지요. 괜히 전범위 복습하자라는 생각으로 가면 상당수 학생들이 많은 분량 앞에 공부 의욕만 꺾이게 되는 경우가 많은 거 같아서 하는 말입니다. (결국은 학생 개인의 의욕과 능력에 비추어서 따져봐야겠지만 대체로 저는 이게 낫다고 생각합니다.)

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