2012 9월 수리 가 질문

Question

21,27번 질문이요 문제 첨부해요 ㅠ

N은수렴한다 · Accepted Answer

27번 문제는  구 2개를  원으로 보면은  ( xy 평면 yz 평면 zx 평면 뭘 봐도 똑같을테니 뭐 마음에 드는 쪽으로 ) 

 원점 중심으로 반지름 4인 원과          (1,1) 중심으로  반지름 2인 원  그려보면   

원 안에 또 원  (내접하는것도 아니고 뭐.. 그냥 안에 있는 원 )   이 그려지네요 

이때   작은 원 { (1,1) 원의 중심으로 하는 원 }   에 접하는 직선을 그린다고 생각을 해보시면요 


접선이 큰원에 의해 짤리는 직선이 가장 길때가   공간으로 보면 가장 큰원으로 짤리는 경우네요

이때 1,1 을 기준으로 거리가 2인 점들중(즉 중심(1,1)인 원 위의 점 중)    (0,0) 을 지나고  (0,0) 으로 부터 가장 짧은 거리에 있는 점을 구하셔야되요



아.. 근데 말하고 보니        반지름이 2인 구의 중심이 (1,1,1) 이였는데 .. 공간상에서는 조금 달라지는건가..



음... 아니면 위에서 약간의 힌트를 얻었듯이.. (1,1,1) 로 부터  원점 을 지나는 직선중  길이가 2인  곳에서  원점 까지의거리가 가장 짧은 


곳의 점을 구하면 뭔가 될꺼같은데

직선 방정식   x-1 = y-1 = z-1  을통해서 직선 위의 임의의점   (t+1, t+1,t+1)

통해서           루트 3(t+1)^2= 2        ......................................으헝 모르겠어요

N은수렴한다 · Answer

아 발견했네요 ,.... 그냥 쉽게 보면 되네요       



단 그림을 그리기에는 조금 힘듦으로  직관적인 이해를 부탁드립니다.. 


전 그림으로 해결했습니다.   (1,1,1) 과 (0,0,0)의 직선을 포함하는  평면을 기준으로 생각해서           


원 두개가  큰원 안에 작은원 이렇게 존재하고         (1,1,1) 로부터 원점 지나는 어떤 원위의점 A라두고   (1,1,1) ~ A 점    거리: 2 

                                                                                                                                                                                                  그럼 OA 는  2-루트3 임을 알수있고 

                
최대 원의 반지름의 길이는         루트{ 4^2-(2-루트3)^2}  ←   제곱 x 파이            하면 답이죵?

N은수렴한다 · Answer

21번 풀이도    나름 해볼께요 ...


먼저         역함수 존재 조건에 의해서

삼차함수 f(x) 는    증가 함수 혹은 감수함수   입니다 .  (일대일 대응)  

(나)에서 분모가 0으로 가까이 가므로    분자도 0 으로 가까이 가야  극한값이 수렴하므로  

   f(3) = g(3)      역함수 조건에 의해서    f(3)=g(3)= 3 이 되겠네요 

 f(x)는 다항함수 {g(x)도 마찬가지로} 이므로   미분가능하다  따라서     (나)의 식을 바꾸면 

{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{ (f(x)를 미분 한 값을     t(x) 라 두겠습니다.            g(x) 미분값은     y(x) ) ]}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

t(3)-y(3)=8/9 * g(3)                                   {*는 곱하기 }   g(3)은 앞에서 구했듯이  3 이므로 계산하면

t(3)-y(3)= 8/3           역함수의 도함수 공식에 의해서   y(x) = 1/t(y) 이므로        y(3) = 1/t(3)  

즉 t(3)을 a라 두면      a- 1/a = 98       t(3)은 3이네요 



자 그럼 f(x)의 최고차항의 계수가 1이라 하였으므로      임의의 삼차함수 f(x)를 세워 봅시다     x^3+ax^2bx+c   = f(x)

먼저 f(3) 은 3 이라 하였으므로       27+9a+3b+c = 3   ----------------------------------식(1)
미분한  t(3) 도 3 이라 하였으므로     미분한값에 3을 대입하면    27 + 6a+b=3     ----------------------식(2)

식 1과 식 2를 통해서  값을 구해볼려고하였지만   미지항 c  때문에 아직 구할수가 없네요  그럼 이제 쓰지않은 (가) 식을 사용하러 갑시다


도함수 g(x) (즉 y(x) )  는   1/3 보다 항상 작거나 같다             

역함수의 정의에 의해서     y(x)는  1/t(y) 와 같다고 말했습니다.                  ((((((((((((((((((다시한번 말합니다    f(x)를 미분 한 값을 t(x) .  /g(x) 미분값은     y(x)


즉 1/t(y)  는 1/3 보다 항상 작거나 같다            

이식은    t(3)=3 임을 통해서         함수 f(x)는 증가함수임을 알수있고 항상 t(x) > 0 을 만족합니다

고로     t(y) > 0 이므로        t(y) 는  3보다 항상 크거나 같다가 성립합니다.    

즉 t(y)의 최솟값은 3 이므로      (최솟값 x값에다가   -b/2a 대입        (a 는 2차항 계수  b는 1차항 계수 )  하면  a^2(1-2b)= 9 이네요   a^2 = 9/1-2b 이네요 


이식을 잘 정리하면 나오지 f(x)값을 구할수있을거 같은데.......   뭐 접근은 대충 알려드렸으니 나머지는 알아서......ㅜ (무책임해서 죄송 ...  솔직히 맞는지도 잘 모르겠네요)

2012 9월 수리 가 질문

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