중앙모의 28번과 '변화율 벡터풀이' 질문
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10.26 중앙모의 28번
그림과 같이 반지름의 길이가 1cm인 원 C에 접하는 두 직선 OX, OY의 접점을 각각 P,Q라 하자.
또, 점 Q에서 선분 OP에 내린 수선의 발을 Q`, QQ`의 길이를 h(cm)라 하자.
선분 OP의 길이는 3cm로 일정하고, 원 C의 반지름의 길이가 매초 1cm씩 증가할 때, 원 C의 반지름의 길이가 2cm가 되는 순간, h의 변화율은 q/p(cm/초)이다. p+q의 값을 구하시오.
우선 제 풀이는 이렇습니다.
COP=COQ=HCI=각 theta
OCQ=90-theta
HCQ=90-2theta
CQH=2theta
반지름이 늘어나는 방향을 벡터 CQ와 평행한방향이라고 하면,
매초 cos(2theta) 만큼의 벡터가 QQ`의 길이를 늘리는방향의 벡터로 분해되므로
계산 과정을 거쳐 q/p가 5/13이 나왔습니다.
문제는 아주 간단한데, 제 풀이가 어떻게 틀렸는지를 듣고싶습니다. 그리고 방향까지 제시해주신다면 감사하겠습니다.
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아! 실수로 잘못적었네요. 수정했습니다.
cp도 증가하니까 그것의 변화율까지 더해야 하는거아닌가요?
그걸 어떻게 고려해야할지를 잘모르겠습니다..ㄷㄷ
어떻게 틀렸는지를 알려달라고 하시길래..; ㅎㅎ 전 답지와 비슷하게 풀었네요..
OCQ=pi/2 -2theta 아닌가요?
COQ=theta
CQO=90
OCQ=90-theta
윗님말씀대로 cp도 증가하니까 그 변화율까지 고려해줘야 하는데..
반지름 CP의 길이를 r이라 하면, HQ' = r
QH = r cos 2theta
--> QQ' = QH+HQ' = r(1+ cos 2theta)
시간에 따라 r도 변하고, theta도 변하니까, 다 한 문자인 r로 표현해봅시다. 삼각형OCP에서 tan theta = r/3.
cos 2theta = (1-tan^2 theta )/(1+tan^2 theta) = (9-r^2 )/(9+r^2 )
따라서 h=QQ' = r(1+ (9-r^2 )/(9+r^2 ) ) = 18r /(9+r^2 )
시간t에 대해 양변을 미분하면
dh/dt = { ( 18(9+r^2 ) - 36r^2 ) /(9+r^2 )^2 } * dr/dt
r=2인 순간 우변의 값은 90/169.
일반적인 풀이가 아닌 벡터 풀이법도 혹시 알수있을까요.?
아 저도 ㅋㅋ 벡터로 하다가 틀림 지면에서 위로 속도 1로 증가하는것도 있어서 1 + 5/13 으로 ㅠㅠ 근데 이게 다시 생각해보면 변화율 고려할게 한가지가 아니어서 풀기 힘들어보이네요