고1수학 상 복소수 부분 질문입니다.

Question

먼저 첫번째 질문입니다.(√ 기호는 루트에요^^;;)a>0, b>0 일때 √a×√b = √ab 입니다.허수 i에 대해서 i²=-1이고 i=√-1 이죠 그런데 √-a=√ai 잖아요 그럼 √a×√-1=√-a 라는건데 이럴 경우 a>0, -1<0 인데 √a×√b = √ab가 성립한다고 할 수 있나요?그런데 또 다르게 생각해보면 (√a)²×(√-1)²=a×-1= -a =(√-a)² 라서 성립되는거 같기도 하고..두번째 질문 a>0이고 b<0일때 √a/√b = - √a/√b 라고 제가 보는 기본서에 나와있거든요 이거 증명 방법을 잘 모르겠네요 ㅠㅠ 혼자 공부하니까 이런거 물어볼 사람이 없어서 답답하빈다 ㅠㅠ

syzy · Accepted Answer

말씀하신 거 맞아요.

a,b 둘 다 음수일 때에는 √a √b = - √ab 이고, 그 외의 경우에는 √a √b = √ab 에요.

또, 분수 형태 근호에 대해서는 말씀하신대로 a>0, b<0 일 때 √a/√b = - √(a/b) 이고, 그 외의 경우 √a/√b = √(a/b) 입니다.
a>0 , b<0 인 경우 증명은, √a/√b = √a/(i√-b) = - i √(a/(-b)) = -i √(-a/b) = - √(a/b)

syzy · Answer

고등학교 교과서나 정석 등 잘 살펴보면 있을 것 같습니다^^

원칙은 하나에요. 근호 안이 양수면 그대로 두고, 근호 안이 음수면 i를 근호 밖으로 빼내면서 근호 안을 양수로 바꿔주고..
a,b 둘다 음수일때 √a×√b를 √-ai×√-bi 로 고치고 시작하는 게 그런 이유에서이지요. -a 랑 -b는 양수가 될테니까요.

그리고, √a×√-1 = √-a 는 예를 들어, a=3 이면, √3×√-1 = √-3 이 되는 게 왜 그렇냐 하시는 거죠?
√3 은 x^2 = 3 의 근 중 양수인 근. 그 근을 그냥 x라고 놓을게요.
√-1 은 y^2 = -1의 근 중 허수부가 양수인 근. 그 근을 y라 하고..
√-3 은 z^2 = -3의 근 중 허수부가 양수인 근. 그 근을 z라 합시다.
위 두 식 곱하면, (xy)^2 = -3 이니까 (xy)^2 = z^2 --> z=xy or z= -xy 이지요. 근데 xy의 허수부는 양수임은 명백하고 z의 허수부도 양수이니까, 이 중에서 z=xy가 참이지요. 따라서 √3×√-1 = √-3 이어야 하지요. 당연하게 생각하고 넘어가면 당연한건데 끝까지 파고 넘어가시는 자세가 참 좋으시네요^^
끝으로 √a / √b = √a(i√-b) 라고 쓰셨는데, 제가 쓴 거 다시 한 번 보세요~ 우변에 나누기가 있어요.

동병상년 · Answer

소중한 시간 내서 자세한 답변 달아주신것 감사드립니다.

설마 제가 수험생의 시간을 뺏은것은 아니길 바랄께요^^;;

고1수학 상 복소수 부분 질문입니다.

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