산술/기하평균 질문이요 ㅠ

Question

아.. 모르비로 쓰다가 질문 다 날아가서 맨붕 ㅠㅠ학원에서 문제를 나눠줬는데 x^2 + 16/x = 3p가 두 개의 서로 다른 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 실수 p의 값의 범위?이건데 결국 그래프모양이 x>0범위에서 극솟값 이상일때 조건만족하므로x>0에서의 최솟값을 구하는 문제가 돼요전 여기서 한완수에서 배운대로 우변을 상수로 만들기위해 16/x를 8/x 두개로 찢어서(~~) >= 3{(x^2)(8/x)(8/x)}^1/3 =12 이므로 (세 항의 산술기하평균)p>4라고 구했는데요 친구들은 원래 이렇게 구하면 안된다고 하면서 제가 답 맞춘건 우연이라고 하네요그러면서 들어준 예시가 16/x를 10/x + 6/x 로 찢으면 값이 다르게나온다고..여기서 제 풀이가 맞게 푼 풀이인가요? 맞다면 친구가 든 반례는 어디가 잘못됐는지..혹시 산술/기하평균을 쓰는데 양 변중 하나가 상수여야 하는 것 이외에 다른 조건이 있는지요 ㅎ2탄도 있는데 이따가 올릴게요 ㅠ 수리고수분들 답변좀해주세요!

syzy · Accepted Answer

결론부터 말씀드리면 님이 맞게 잘 푸셨어요. 그래프 모양을 통해 x>0인 구간에서 좌변함수의 최솟값 구하는 문제임을 확인하셨다면 산평 기평 부등식 이용해서 풀 수 있는 것 맞아요. 물론 미분해서 구하는 것도 당연히 되고요.

님친구분 의견대로
x^2 + 16/x = x^2 + 10/x + 6/x >= 3(60)^(1/3) 까지는 아무 이상이 없이 맞아요.
그런데 등호가 성립할 조건이 세 수가 같을 때, 즉, x^2 = 10/x = 6/x 인데 이것은 불가능하지요. 따라서 위의 >= 에서 등호는 불가능하고 부등호만 성립하게 되므로, 3(60)^(1/3) 은 실제 최솟값이 아닌, 최솟값보다 더 작은 어떤 값에 불과하게 돼요.

님의 풀이에서는 x^2 = 8/x = 8/x 일 때, 즉 x=2일 때 등호가 성립하므로 12가 실제 함수의 최솟값이 되는거구요. (그래서 p>4)

산술/기하평균 질문이요 ㅠ

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