공간도형 ㄱㄱ

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평면 x로부터 거리가 각각 4인 점a,b가 있다. 점a를 중심으로 반지름의 길이가 2인 원O이 있을때 점b에서 이 원에 그은 접선에서의 접점을 p라하자.
이때 점p에서 평면 x에 수직으로 내린점을 h라 할때 hp =3이다.
점 a,b사이의 거리의 최솟값을 L이라 할때 L^2 = q/p이라 할때 p+q=?
(단, 점b와 원O는 같은 평면위에 있고 p,q는 서로소)

BGM 출처 : [링크]

유튜브에서 퍼온 BGM(영상)입니다. BGM이 버벅거릴 경우, 잠시동안 일시정지 후 재생해 주세요. [유튜브 브금 넣는 법]

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탱구리탱탱 [401350]

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루라룰 · 364154 · 12/10/15 18:14 · MS 2011

이번주 금요일 날짜의 숫자 맞나요

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줄리엣94 · 386569 · 12/10/15 19:35 · MS 2011

맞아여 ㅋㅋㅋ

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탱구리탱탱 · 401350 · 12/10/15 20:15 · MS 2012

네 정답 ㅋ

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keepmovin · 329772 · 12/10/16 00:48

앗 중앙모의고사 보는 날인데

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루라룰 · 364154 · 12/10/16 02:11 · MS 2011

유웨이는 26일 아닌가요 ㅋ 이번주는 비상

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줄리엣94 · 386569 · 12/10/15 19:35 · MS 2011

조아영

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줄리엣94 · 386569 · 12/10/15 19:45 · MS 2011

공대 공뷰 재밋나영?

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탱구리탱탱 · 401350 · 12/10/15 20:15 · MS 2012

네 재밋어여 ㅋㅋ 과는 정말 잘선택한듯 ㅋㅋ 내 적성이랑 딱맞는거 같네요 전기전자쪽이 ㅋㅋ

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줄리엣94 · 386569 · 12/10/16 00:15 · MS 2011

아...그렇구나..공대에 공학수학? 공업수학? 그런거 있다는데...선형수학? 도 들어밧는뎅.

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탱구리탱탱 · 401350 · 12/10/16 01:36 · MS 2012

ㅋㅋㅋㅋ 그건 어느공대를 가도 다 배우는거에요

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미푸른 · 413800 · 12/10/15 22:52 · MS 2018

궁긍한데 p가 1개밖에 안생기는건가요 ??

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syzy · 418714 · 12/10/16 00:29 · MS 2012

a,b가 평면에 대해 같은 방향에 있건, 다른 방향에 있건, 무수히 많은 가능성이 있지요. 문제에 원이라 되어 있는데 아마 구일 거에요. 선분ab를 포함하는 임의의 평면 내의 원이라 해도 될 거 같고요. ap=2니까, 직각삼각형abp에서 ab가 최소이려면 각bap가 최소여야 하는데 언제 최소가 될 것인가 묻는 것이지요.

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이과지방치 · 410085 · 12/10/15 23:49

저도 궁금한데 점이 p인데

hp가 3이라는 말이 무슨뜻인가여?

점이 길이를 나타내지는 않는데..

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줄리엣94 · 386569 · 12/10/16 00:13 · MS 2011

선분 hp요~~

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이과지방치 · 410085 · 12/10/16 00:30

저 3+16=19 나오긴 했는데요.

혹시 저 원과 점 o를 포함하는 평면이 평면x와 수직이 아니고

약간 틀어진? 평면이어도 이 문제답이 19인가여?

이것두 생각해주어야 하는지 궁금해서요 ㅠ

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줄리엣94 · 386569 · 12/10/16 00:35 · MS 2011

2^2+(2/루트3)^2=(4/루트3)^2

따라서 L^2=16/3

p+q=19 이렇게 나왔어요~

이 문제는 그게 포인트 아닌가요?

맨 밑에 접해있을 때 길이가 3이 되고

틀어지면 길이가 3이 앙대여~~

그래서 맨 밑에서 접해줘야 L값이 최소를 갖겠구나. 그렇게 생각했어요.

구라고 했으면 그렇게 생각하며 고민 함 해볼텐데.. 아예 문제에서 원이라고 되어있어서

첨에 그런 의문이 들었었는데 아예 배제하고 생각했어영~~

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syzy · 418714 · 12/10/16 00:45 · MS 2012

틀어지면 길이가 3이 안 되나요?^^ 틀어져도 길이가 3이 되게는 할 수 있는데, 그러면 b의 위치가 a에서 더 멀어져서 최솟값 4/루트3 보다는 커지겠지요.

b를 처음에 딱 정하지 말고, a를 시점으로 하고 문제에 주어진 평면x와 평행한 반직선을 하나 고정하고 b는 그 위에서 움직인다고 칠게요. a를 중심으로 하는 구가 있고요(혹은 다양한 원들), x와 평행하면서 x에서 3만큼 떨어진 평면으로 구를 자르면 반지름 루트3인 원이 단면이 될텐데요, p는 이 단면인 원의 둘레에 존재할 수 있으니 무수히 많이 존재 가능하지요. 이 상황에서 p에서 구에 접하는 평면을 그렸을 때, 좀 전에 생각한 a를 시점으로 하는 반직선과 만나는 점이 b가 될 수 있으니 최소일 때가 4/루트3 인 것일뿐 그 이상의 길이도 가능은 하겠지요.

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이과지방치 · 410085 · 12/10/16 00:55

넵 이해됐네요..

구라고 생각하니까 깔끔해지네요. ㅎ

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줄리엣94 · 386569 · 12/10/16 01:02 · MS 2011

틀어지면 3이 당연 안됩니다. 왜냐하면 문제에서 원하는 최소값이 나오지 않기 때문에.

굳이 구라고 생각할 필요가 없눈뎅... 난 아예 첨에 원을 구로 잘 못 보고 풀었는데.

결과는 똑같아여~~ 최소값을 가져야하니깐.

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syzy · 418714 · 12/10/16 00:38 · MS 2012

출제자의 의도는 알 수 없으나, 원 -> 구로 바꾸면 문제가 훨씬 더 자연스러운 것 같아요. 아마 오기가 아닐까 생각이 드네요. 원이라고 하더라도, 원이 선분ab를 포함하기만 하면 비틀어진 평면이더라도 다 따져주어야지요.

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탱구리탱탱 · 401350 · 12/10/16 01:36 · MS 2012

넵 수지님 정답 ㅋㅋㅋ 사실 처음엔 문제를 구로 설정하려고 했는데 한번더 생각하라고 원으로 냈어요 사실 원이 틀어져도 거리가 3인 p는 존재하죠 다만 밑에 평면과 수직일때 거리가 최소인걸 찾는데 포인트 ㅋㅋ

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줄리엣94 · 386569 · 12/10/16 00:38 · MS 2011

아..난 일부러 원이라고 문제에서 명시한 줄 알았눈뎅~

출제자가 고민하지말고 풀어~~ 이렇게 말하는거 같았어염 ㅋㅋㅋ

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이과지방치 · 410085 · 12/10/16 00:52

아 글쿠나..

두 평면이 수직이라고 하면 문제가 너무 쉬워지고

걍 syzy님 말씀대로 구로 바꾸면 문제가 더 자연스러워질거 같네요~~

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줄리엣94 · 386569 · 12/10/16 01:03 · MS 2011

구나 원이나 그게 그거임.

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이과지방치 · 410085 · 12/10/16 01:09

원이 틀어져도 hp의 길이가 3이 나오긴 하는데

원이 틀어지지 않고 두 평면이 수직인 경우와 틀어진 두 경우를 모두

고려했을때

점 a와 b사이의 최솟값이 생기는 경우는 두 평면이 수직인 경우이기 때문에

답이 19인거같네요.

만약 출제자가 원이 틀어지는 걸 고려해주길 원해서

문제를 최솟값이 아닌 다른 방향으로 물었다면

이것도 고려해줘야될것 같아요.

아직 이런게 기출에 나온적은 없죠.

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오페쓰 · 371539 · 12/10/16 02:09 · MS 2011

원이라고 명시된 것 때문에 수직좌표계로 옮겨서 풀어봤는데, 답은 똑같이 나오네요.

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JennyB · 360967 · 12/10/16 22:12 · MS 2010

탱구리님 저는 bp길이를 x로 뒀는데요.. 점a에서 X평면에 내린 수선의 발을 a'이라고 하고 b에서 내린 수선의 발을 b' 라고 하면 삼각형 a'hb' 의 세 변의 길이가 루트3, 루트(x^2+4), 루트(x^2-1)이 나와서 이 삼각형에서 삼각형 성립조건..을 써서 무리부등식으로 푸니까 x^2>4/3이 나왔는데.. 원래 성립조건에서 등호는 없지 않나요? 제 풀이가 잘못된 것 같은데..ㅠ ㅠ 왜 잘못된 건지 가르쳐 주세요!! 그리고 각bap가 최소일때? 이건 어떻게 하는 건가요?

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syzy · 418714 · 12/10/17 00:42 · MS 2012

그 삼각형 성립조건을 만족한다고 해서, bp가 구에 (혹은 원에) 접한다고 보장할 수 없어서 답이 안 나오는 걸거에요. bp가 구에 접하는 것, 즉, bp와 ap가 수직은 것을 좀더 직접적으로 써야겠지요.

ab의 길이를 t라고 하면, p에서 ab에 내린 수선의 발을 k라고 할 때, ak = 4/t. 이 길이가 a'h보다는 짧아야 하므로 (그림 그려보세요~)
4/t <루트3 --> t > 4/루트3.

끝으로 점b가 점a와 평면x의 반대편에 있을 때도 똑같이 따져보면 이 경우 값이 더 크게 나온다는 것을 알 수 있어서 ab의 최솟값은 4/루트3 이 됩니다.

그리고 위의 경우에 각bap가 최소가 됩니다. (이를 이용해서 풀 수도 있지요.) 그림 그려보시면 확인 가능하겠지만 p가 평면x에서 거리 3떨어지고 반경 루트3인 원 위를 움직이는데 이 중 각bap가 최소인 경우가 언제일지 그림을 통해 확인해보세요.

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syzy · 418714 · 12/10/17 00:44 · MS 2012

그리고 엄밀히 따지자면, 원으로 하면 옳은 문제가 아닙니다. 원 -> 구라고 바꿔야 하고요. 혹은 선분ab를 포함하는 임의의 평면 내에 존재하는 원으로 국한시켜야 말이 됩니다. 그렇지 않으면, 점b가 원과 동일 평면 내에 있지 않아서 점b에서 원에 접선을 긋는다는 것이 넌센스가 됩니다.

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탱구리탱탱 · 401350 · 12/10/17 00:53 · MS 2012

문제 끝까지 읽어주세요

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탱구리탱탱 · 401350 · 12/10/17 00:55 · MS 2012

헐;; 마지막 조건이 점b였는데 점a라고 오타냇엇네요
그점을 고려해서 일부러 저 조건을 준건데 아무도 태클을 안거시길래 몰랏음 ㄷㄷ

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syzy · 418714 · 12/10/17 01:09 · MS 2012

예 수정하신 문제는 오류가 없어보입니다ㅎㅎ 오타인 것 같았어요. 점a랑 원은 당연히 동일평면 내에 있는 건데 또 적을 리가 없다 생각하긴 했는데, 그게 점b의 오타였군요..ㅎㅎ

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