[10.12] ㉿피니싱케치®
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㉿
구의 중심이 O'(4,4,0)인 구 (x-4)^2+(y-4)^2+z^2 = 25 와 평면a: x+y-√2z=0 이 있다.
구와 평면이 만드는 교선위의 점 A,B에 대하여 선분 AB의 중점을 M이라 할때 O'M = √17을 만족한다.
이때 점A,B 그리고 점C(0,0,2√2)가 만드는 평면과 평면a가 이루는 각도의 최솟값을 θ라 할때
26cos^2θ 의 값을 구하시오. (단, 0<θ<pi/2)
㉿
함수 f(x)=tanx (0<x<π/2) 가 있다.
y축과 f(x)에 동시에 접하는 원의 중심의 좌표가 (r,a) 이다.
이때 이 원을 y축 중심으로 한바퀴 돌린 회전체의 부피를 V 라 한다.
lima→0 (V/a3) = π2(√2p-q) 일때 (단,p,q 는 양의 정수)
p+q 의 값을 구하시오.
다 맞추면 올해 수리영역 걍 100점! ㅎ
참고로 저는 이 중에서 두 문제 맞았어요~~~~
풀어보세여~~~~
출처 일모 칸모 탱모 글모
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???
글모는 머임??
글로벌 K님이여~ 혜성같이 등장한 고수ㅋㅋ
1번 152 3번18?? 4번은 걍 풀기 싫은데요...
와 역시 잘하시네여~
1번 어떻게 푸셨어요? ㅋ
처음풀땐 몰랐는데 나중에 보니까 길이적분이더라고요.
부정적분과 정적분의 관계를 이용해서 높이구하면 답 나오던데요?
맞아여 ㅋㅋ
첫번 째 문제는 올해 수능 29번으로 걍 갖다놔도 손색없나여? ㅋㅋㅋ
29번으로 내기엔 발상이 좀 특이한 케이스라..
좀더 보편적인 발상을 하면서
더 어렵게 낼듯(상황을 복잡하게?)
더 어렵게요? ㄷㄷㄷㄷ
4번 지금보니까 교과과정으로 안풀릴거 같은데요 풀려면 식 에바될거같은데??
풀이 적어드릴까영?
네 부탁드릴게요 ㅎㅎ
회전체 부피는 그냥 적분 쓰면 r에 관한 식이 나와요
그리고 이제 a 가 0으로 갈때
원의 중심이 원점으로 가는데
이때 이 원과 tanx 의 접점도 원점으로 가요
이때 직관적으로 y축과 tanx와 원의 접점에서의 접선이 이루는 각이 π/4 이므로
r과 a 의 관계식이 도출 되요
일단
회전체 부피는 그냥 어떻게 해서든 구하면 되요
(걍 적분식쓰기 or 시간 걸리는거 싫어하시는 분들은 원을 회전시킨거니깐
적분할 때 식 다 쓰지 않고 도너츠공식 쓰면 한큐에 구할 수 있구여...)
그러면
V=2(π^2)×(r^3)
이렇게 나와요
이제 a 와 r 간의 관계식을 도출해야 하는데
그냥 구하기에는 시간도 많이 걸리고 계산도 복잡해요
그래서 원래 일반적인 극한문제 풀떄 와는 (?) 반대로 a 를 먼저 0으로 보내요
그러면 원의 반지름인 r도 0 으로 가겠죠??
이제 r과 a가 원점에 매우 매우 가까워 졌다는 생각을 해보면
이때 원과 tanx 의 접선은 y=x가 된다는것을 알수 있습니다.
그래서 그때 a와 r 과의 관계는 r=a x tan(π/8) 이 나와요
이제 이것을 식에 대입해 보면
답은 π^2(10√2 - 14)가 되어서
따라서 답은 24가 됩니다~~ ^^*
1번답 152
이 문제 만드신분 진짜 ㄷㄷㄷ하신듯...
어케 이런 발상까지 하셨지 ㅋ
그니까여 ㄷㄷㄷ
1번풀이.
일단 문제를 보고 대충 저런꼴은 길이적분 공식에서 본적이 있어서
길이적분으로 끝까지 접근해 보기로 함.
문제의 조건만으로는 길이적분으로 생각하기 어려웠는데
문제의 주어진 식을 길이적분에 맞게 변형해보기로 함.
f(x)=2k ' (x)라 두면,
(나)의 조건에 의해,
k(3) - k(1) = 3이 된다.
그리고 아래 문제에 구하고자 하는 식에 f(x)대신 2k ' (x)를 대입해보면
2 * { (1에서 3까지) 루트 (1+[k ' (x) ]^2)dx} 로 바뀌게 된다.
이는 y=k(x)함수의 1에서 3까지 곡선의 길이의 2배이므로
최소일때와 최대일때를 그래프상에서 찾아보면 ( k '(x) > 0, k ''(x)>0활용!)
최소일때는 x=1에서 x=3까지 그냥 일차함수형태로 함숫값 차이가 3이되게
그려진 경우이고
최대일때는 x=1에서 x=3까지 상수함수 형태로 그려지다가 x=3의 점에서 그보다
3이 크게 바로위로 직선으로 그린 경우임을 직관적으로 알 수 있다. (구하고자 하는 k의 범위가
등호를 포함하지 않으므로 이런 풀이가 가능)
최소일때의 길이는 루트(2^2+3^2)=루트 13이고
최대일때는 2+3=5임을 구할 수 있다.
따라서 2*(루트13)< k < 10이고
답은 152가 된다.
와우 굿굿굿!!! ㅋㅋㅋ
근데 저는 이 문제가 젤 어려웠는데 그 이유가..
처음에 길이적분인거 식 변형 할 때 진짜 한 5분 넘게 걸렸고 ㅠㅠ
마지막에 최대를 도대체 어떻게 구하라는 거야....다항함수인데 이거 모 어떻게 하라는거야..
막 이러는데 문제 조건 다시보니 걍 연속함수란 말 밖에 없더라구여 ㅋㅋㅋㅋㅋ
그래서 머야이거..걍 극단플레이로 가자이거야?
하면서 답을 끼워맞추려고 노력한 듯요 ㅋㅋㅋ걍 최대로 꺾어보되 그 꺾은 모습이 아니라 리미트이다..
이러면서 위로 우선 3을 그어주고 가로로 2를 그어주어서 3+2=5 이렇게 했어요.
하지만 이건 함수가 아니다. 왜나하면 일대다대응이니깐..
이러면서 또 고민고민 ㅠㅠㅠㅠㅠ 멘붕멘붕 ㅠㅠㅠㅠ
하다가....아...부등호 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
그러니깐 리미트로 생각해도 문제없다!!!
그래서 답을 구했는데 정말정말 시간이 마니 결렸는데..
님은 슥삭슥삭 별 고민없이 푸신 듯...ㄷㄷㄷ
저도 개어렵게 느꼈음요 ㅋㅋㅋ
근데 그래프 주어지고 저렇게 조건이 추상적인 상황에서
등호조차 없고 최대 최소를 구하는 문제는 보통
일차함수 직선형태나 상수함수꼴로 생각하는게 대부분이라서 저렇게 했음요.
저번에 님이 올리신 최대넓이가 3/5인가 그 문제랑 비슷한 문제에요.
글고 님이 글 쓰신것중에 "이러면서 위로 우선 3을 그어주고 가로로 2를 그어주어서"
이 부분이요.
문제의 조건에서 k ''(x) > 0 즉 아래로 볼록한 형태인데( 등호가 없기 때문에
극한일지라도요.)
위로 긋고 그 다음에 옆으로 죽 긋는경우도 가능한가요?
저는 옆으로 죽 긋고 그 다음 x=3에서 위로 긋는게 아래로 볼록의 극단적인
경우이기 때문에 이것만 가능하다고 생각해서 제 풀이에 저렇게 적은거거든요.
헉 님 제가 틀렸네여~ 저는 위로볼록으로 왜 생각했는지 모르겠네여~
멘붕상황이라 정신이 없었나? -.-;
f(x)=2h`(x)라고 놓아야만이 주어진 식의 특성상 길이적분식으로 나타내지고
여기서 h``(x)>0 이라는 것은 문제의 조건에서 알 수 있네요 ㅠ
그리고 h`(x)>0 인 것도 당연하고...
그럼 밑으로 깔리는 ___] 이런 모양이 되겠네여!!
넵. 제가 생각한게 그거였어요.
님이 말씀하신 대로 하니까 위로볼록형태로 되더라구요.
어쩌다보니 그 생각이 났네요 ㅋ
네 그게 중요한 부분이네요!!!
h(x)의 그래프의 모양이 f(x)보다도 사실 중요하니까요ㅎ
구하려고 하는 부분이 고스란히 h(x)로 전도되니까...
그리고 h(x)는 f(x)랑은 다르게..f(x)는 양의 부분에서만 정의되지만.
h(x)는 양의 값,음의 값 상관없이 어디서든 정의되고
다만 증가에 아래로볼록. 따라서 문제가 원하는 정보를 구하는데 문제 없음.
이렇게 결론나는거 맞져?
넵~ 저렇게 결론나는거 맞네요.
특히 "h(x)는 양의 값,음의 값 상관없이 어디서든 정의되고"
이 부분!
역시 예리하시네요.
이 문제는 고난도를 떠나서 여러모로 저를 한없이
겸손하게 하네요.
이 문제는 큰 고비가 두 번이나 있었다는게 참 컸던 것 같아요..
길이적분에서 아니..이게 1+f(x)^2이 나와야 되는데 왜 4를 주었지?
이거 길이적분 아닌가? 이러면서 고민고민..
설마 그 부분까지 식을 변형해주길 원하는건 ..출제자의 심술이 아닌까 생각도 들더라구요..
길이적분을 그런 식으로 숨겨놓는것이....ㅠ 훔...수학적으로 의미가 있나요?
전 잘 모르겠어요... 걍 의문이 쫌 들어요..
이 부분은 고수님들이게 맞기겠음.
그리고 두번 째 고비..
일대다대응은 함수가 아닌데!! 일대다대응 그래프로만 답이 5가 나오는데 어쩌란말이야 ㅠㅠ
계속 고민고민 또 고민하다가 어라..부등호좀 봐라?
그럼 이거 결국은 리미트가 그거할 뿐 연속(함수)라는 것에 위배가 안되네..ㅋㅋㅋㅋ
이걸 넘 늦게 케치가 되었음 ㅠㅠㅠㅠ
이런 문제를 출제하는 출제자가 진심 대단해보이는 그 순간 ㅋㅋㅋ ㅠㅠㅠㅠ--->부등호!! ㅠㅠ
님.. 그리고 세번째 탱탱님이 내신 문제
힌트 좀 주세요.
어렵지 않나요?
저 문제 처음엔 멘붕이었는데여...
한 5분 동안 손도 못댔어요...근데 그림 막 이쀼게 섬세하게 그리니깐 바로 나오더라구영
그림 계속 이리저리 바꿔 그려보고 계속 그려보니깐 딱 상황에 맞게 그림 잘 그리기?ㅋ 그게 중요한 듯요...
그게 각이 최소값이 된다는게 포인트에요...
더 말하면 스포할 것 같은데..여기까지만?
이면각이라서 교선 구해서 각도 구하는거 같은데
문제의 조건에 맞는 그림을 딱 찾도록 다시 시도해봐야 겠네요.
네 공간에서...평면화 시키는거랑...그림 이뿌게 잘그리는거....
그게 정말 중요하다는 것을 다시 한번 느끼게 해준 문제 같았어용...
칸모 최강 킬러문제의 풀이를 공개합니다.
----> 아래의 글은 칸타타님이 직접 쓰신겁니다.^^
3의 배수, 9의 배수 판정법은
임의의 수를 9로 나누었을 때 나머지는 계속 하나씩 증가하고 8에서 넘어갈 때는 0이 되는거...
그러니까 이것도 100부터 예를 들어보면, 101, 102 이렇게 109까지는 일의자리수만 하나씩 증가하니까
이해가 가시죠? 그런데 109부터 110이 될 때에는 일의자리수가 9만큼 깎이지만 십의자리수가
하나 올라가면서 결국 나머지는 하나 올라가죠?
또 110부터 119까지는 나머지 자리수가 그대로이지만 일의자리수는 하나씩 증가하다가
또 119와 120 사이에서는 109에서 110으로 넘어갈때와 같은 현상이...
199와 200에서도 백의자리수는 하나 증가하고 십의자리와 일의자리가 9씩 총 18깎이면서
마찬가지로 9로 나눈 나머지는 하나 증가하는...
뭐 대충 이런 예를 들어서 생각하다보면 당연하게 느껴질거에요ㅎㅎ
핵심 포인트----> 어떤 수를 9로 나눈 것이 그 수의 자릿수를 모두 더한 것을 9로 나눈 것과 같다.
23번 노가다로 하는 법!
도 공개합니당 ㅋㅋ
수열 an의 초항은 아직 몰라요~
하지만 임의로 하나 잡고 규칙을 찾아보면서 그 값이 될 수 있는것을 찾아봅니다
저는 이문제 만들 때 a1=100으로 놨어요
an+1의 값은 an과 그 각자리 수의 합을 더한 것과 같으므로
a2=101, a3=103, a4=107, a5=115, a6=122, a7=127, a8=137... 이렇게 구할 수 있죠
그럼 bn도 쉽게 나오죠?
b1=1, b2=2, b3=4, b4=8, b5=7, b6=5, b7=1, b8=2 ...
그런데 계속 나열해보시면 아시겠지만 (1,2,4,8,7,5)가 반복되요~
만약에 초항을 3의 배수로 잡으신다면 (3,6)이 반복되구요
초항을 9의 배수로 잡으신다면 bn의 모든 항이 0이 됩니다
문제에서는 b1, b3, b5가 등차수열을 이루고 공차가 0이 아니라고 했으므로
초항은 3의 배수가 아닌 수들 중 임의로 하나 잡되,
b1, b3, b5가 각각 1,4,7이거나 8,5,1이 되도록 하면 되죠
따라서 b2013=b3=4 또는 5가 되면서 답이 20입니다!
3번에 10아닌가요 왜 게속 10나오지 ㅠㅠ
아아 제곱 세타군요 ㅋㅋ이세타로봄;;삼십분쨰 계산 만햇네..ㅠ
제생각엔 이님 대학쩔게가실것같은데
이런거 만드는거 어렵지않나 님좀 쩌는듯