오르비 고수분들~ 저에게 한수 가르쳐주세요~~

Question

21. 좌표공간에서 네 점 A(2, 1, 2), B(5, 1, -4), C(1, 2, 4), D(1, 5, -2)가 있다.

선분 AB위에 점 P, 선분 CD위의 점 Q에 대하여 OR(벡터)=OP(벡터)+OQ(벡터) 인 점을 R라 하자.

벡터 OR의 길이가 최소로 되도록 하는 점R의 좌표를 (a, b, c)라 할 때, a+b+c의 값을 구하시오

이 문제입니다. 한참 고민해봤으나 정확한 풀이방법을 모르겠습니다 ..
저에게 가르침을 주세요~~

김대발프라임 · Accepted Answer

벡터 분해하면 되지 않을까요? OP=OA+AP OQ=OC+CQ 이런식으로요

syzy · Answer

여러 가지 방법이 있겠지만 노가다로 푸는 방법은,

직선 AB 위의 점P의 좌표: (3t+2, 1, -6t+2)
직선 CD 위의 점Q의 좌표: (1, 3s+2, -6s+4)
로 놓을 수 있고, 따라서 벡터 OP, 벡터 OQ의 합인 벡터OR는 (3t+3, 3s+3, -6t-6s+6) 이라고 놓을 수 있습니다.

따라서 벡터OR의 길이 3 root{ (t+1)^2 +(s+1)^2 +4(s+t-1)^2 } 가 언제 최소인가를 묻는 문제입니다. 근호 안의 식을 t에 관해서 정리한 후 남은 항들을 s에 관해서 정리하면 다음과 같으므로
5t^2 +(8s-6)t + 5s^2 -6s+6 = 5{ t + (4s-3)/5 }^2 + (9/5) { s - 1/3 }^2 + 4

5t = -4s+3 , s= 1/3 일 때 (즉, t=s=1/3일 때) 최소가 됩니다. (혹은 근호 안의 식을 s에 대해서 (편)미분하면 2(s+1)+8(t+s-1), t에 대해서 (편)미분하면 2(t+1)+8(t+s-1) 이 되고, 이 두 식이 동시에 0이 될 때에 최소가 되므로, 두 식 모두 0이라고 놓고 연립하여 풀어도 t=s=1/3을 얻습니다.)

t=s= 1/3일 때 최소. 즉, P(3,1,0) , Q(1,3,2) , R(4,4,2) 일 때 최소입니다. 답은 10입니다.

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