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구구구님 [822854] · MS 2018 (수정됨) · 쪽지

2020-07-01 20:58:14
조회수 3,924

갑자기 써보는 '변분법이란?'

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00030927696

참고: 수능 수학에 쓸다리 하나도 없는 내용임


변분법은 어떤 수학적 문제를 해결하는 방법이며 그 문제는 아래와 같습니다.

문제: 아래의 가 최소(또는 최대, 좁게 보아서는 극소나 극대)가 되는 함수 를 찾아내는 것

여기서 는 함수 가 에 의존한다는 것을 의미하며 의 형태는 이미 알고 있는 상황입니다.

여기에서 상황을 더욱 한정시켜 과 은 fix되어 있다고 생각하겠습니다.

얼핏 보면 ‘그냥 미분하면 되는 것 아니냐’라고 하실 수 있겠지만 이 문제는 값을 찾아내는 것이 아닌 함수의 형태를 찾아내는 것이기 때문에 그리 간단하지 않습니다.

이 문제를 해결하기 위한 방법이 바로 변분법(Calculus of Variations)입니다.

찾으려는 와 약간 모양이 다른 함수는 값을 증가시킬 것입니다.

(찾으려는 함수가 를 최소화시키는 함수이기 때문에)

찾으려는 에서 약간 벗어난 이 함수의 형태를 다음과 같이 나타내겠습니다.

가 우리가 찾으려는 함수이며 는 을 만족시키는 임의의 함수입니다.

또한 는 구간 내에서 미분 가능합니다. 그림으로 보면 아래와 같습니다.

다시 말해 는 에서 최소(극소)값을 가지며 이라는 뜻입니다.

는 편미분을 의미하는데 여기에서 다른 요소는 변화시키지 않고 만 변화시킬 때의 값이라고 보시면 편하며 이외의 변수를 상수로 취급하여 미분하면 됩니다. 이제 미분을 진행해보면

입니다. 겁먹지 마십시오. 간단한 합성함수 미분일 뿐입니다. 앞쪽에 곱해진 것은 겉미분, 뒤쪽에 곱해진 것은 속미분입니다. 그런데 여기서

이므로 는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

여기서 두번째 항만 따로 적분하면 (부분적분)

가 되어 는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

그런데 여기에서 를 임의의 함수라고 하였으므로 가 0이 되려면 앞에 로 묶인 부분이 0이 되어야 합니다.

위 식을 오일러 방정식이라고 합니다.

가 미분 불가능한 경우는 고려하지 않습니다. (적어도 물리학과에선 그럽니다.)

그럼 이걸 대체 어디에 써먹느냐?

맨날 최단강하곡선이라면서 정작 진짜 그런지는 안알려주는 사이클로이드가 최단강하곡선임을 보일 수 있습니다.















만 귀찮으니 다음에 풀어드리죠.

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