수학 칼럼(4)-정적분의 기술
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수학 칼럼(4)-정적분의 기술
이번 칼럼은 조금 가벼운 주제로 다뤄 보겠습니다.
이른바 정적분의 기술
적분 가능한 모든 함수 f(x)에 대하여 다음 두 식이 성립합니다.
많이 봐 왔던 식이죠?
특히 ②은 내신기간에
우선 ①식에 대해 알아보겠습니다.
좌변의 x를 a-t로 치환하면 바로 우변이 됩니다.
간단하니 수식으로 설명하지 않아도 이해 하실거라 봅니다.
그럼 이 식을 어떻게 사용하느냐?
이 얘기를 하려고 합니다.
다음 정적분 값은 당연히 다음과 같습니다.
그런데 이 식을 ①번 식으로 계산해 보겠습니다.
같은 값이 나옵니다.
모든 정적분 계산에서 사용가능하다는 얘기입니다.
다음 문제를 보겠습니다.
여러 풀이가 있을 겁니다. 그 중 대표적인 풀이는 다음과 같습니다.
네 ①번을 이용한 풀이입니다.
그런데 이 풀이에서 피적분함수 cosx/(sinx+cosx) 가 점 (pi/4 , 1/2)에 대칭이기 때문에 저렇게 푸는 거라는 설명을 들었을 겁니다.
그런데 그게 아닙니다.
어떤 점에 대칭이라서 그렇게 푸는게 아니라 그냥 그렇게 풀 수 있는 겁니다.
①에 의해서
이 성립하므로
다음 문제로 한 번 더 연습해 봐요
정답은 pi/8(ln2)
입니다.
기출에서 문제를 찾아보겠습니다.
출제의도는 a값을 구하며 함수 f(x)의 점대칭 구조를 파악하고 b값을 구하시오,인거 같습니다. 그런데 굳이 a값을 구하는 과정을 주지 않아도 b값은 그냥 구해지는 것이지요.
b값만 ①을 이용하여 구해 보겠습니다.
관련 퀴즈는 맨 아래에 배치하겠습니다.
다음은 ②에 대해 알아보겠습니다.
모든 함수는 우함수와 기함수의 합으로 표현할 수 있습니다.
다음 정적분 값을 ②을 이용하여 구해 보겠습니다.
이 또한 모든 함수에서 적용되는 성질인 것이죠.
다음 문제를 보겠습니다.
보통 풀이는 다음과 같습니다.
그런데 그렇게 복잡한 것이 아닙니다.
그냥 이렇게 풀리는 것이죠.
Quiz로 나머지 설명을 대체하겠습니다.
1번
칼럼을 위해 급조했습니다. 만들고 보니 괜찮은 문제인듯...①성질 문제입니다. 조금 더 생각해야..
2번
이번 칼럼은 피적분함수가 복잡해 보일 때 정적분 값을 구하는 문제라면 ①번식을 이용하거나 ②번 식을 이용하여 해결해 보자는 칼럼이었습니다.
저는 랑데뷰 수학 황보백 선생입니다.
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