미분가능 문제 하나만 알려주세요..

Question

이런 문제는 어떻게 접근해서 풀어야 하나요..?답지는 그냥 반례를 들어서 풀어주고lim 붙어있는것을 그냥 f'(X)로 하면 안되고 그런게 너무 헷갈립니다..

서울대조인성 · Accepted Answer

교과서에 '미분'의 정의를 다시한번 보시는게 좋을 듯 싶네요. 미분이라는 것은 평균변화율의 극한값 입니다. 위의 문제처럼 f(x)가 미분가능한 다항함수라는 말 등이 언급되어 있지 않으므로, 미분가능하다 라는것을 알려면 평균변화율의 극한값을 계산해야지 알 수 있습니다.
ㄱ. 같은경우 앞에 lim 을 빼면 평균변화율이 됩니다. 거기다가 lim 를 붙였는데 그 값이 0 으로 존재한다는 것은 즉. x=1에서 미분이 가능하다는 뜻이지요. 미분이 가능하면 연속이다. 라는것은 교과서에 나오는 것이므로 ㄱ은 맞는 것이되구요.
ㄴ. 도 평균변화율의 극한값이 존재하므로 x=1에서 미분이 가능합니다. 앞의 식을 이용해서 뒤의 식을 적절히 변형하면 같은 꼴 2개로 나뉘어 지는 것을 알 수 있죠. f(1)을 빼고 더해서 식 2개로 나누면 앞의 식과 동일한 꼴이 2개가 나오는 것을 알 수 있습니다.
ㄷ. 은 미분가능하다는 언급이 없이 함수의 꼴이 주어져 있으므로 직접대입해서 구해야합니다. 특히 주어진 f(x)꼴이 절대값을 포함하는 즉, 미분이 안되는 곳이 있는 특이한꼴의 함수이기 때문에 반드시 대입해서 구해야합니다. ㄴ번 처럼 구해서 2f'(1)이겟네 라고 구하시면 안됩니다. ㄴ과 달리 ㄷ은 x=1에서 평균변화율의 극한값이 존재한다는 근거가 없기때문입니다. 물론 그려보면 쉽게 미분불가능인 것도 알 수 있구요.

다항함수처럼 미분해서 도함수를 구한 뒤 극값을 찾는 경우나 그래프 개형을 알아보는 경우 등을 제외한 '미분이 가능한가?' 를 판단하는 문제에서는 무조건 미분의 정의를 이용해야합니다. 미분의 정의는 평균변화율의 극한값입니다. 이것이 존재하면 미분이 가능한 것이고 존재하지 않으면 미분이 불가능 한것이죠.

서울대조인성 · Answer

ㄷ은 기하적으로 보면 x=1에서 좌우로 거리가 h만큼 떨어진 좌표의, 함수값의 기울기(평균변화율)가 x축과 평행한 선이 나옵니다. h가 0으로 갈수록 x=1로 가까워지는 비율도 같으므로 계속 x축에 평행한 기울기 0인 직선이 나옵니다.

나의햇살 · Answer

인강선생님들이 대표적으로  '잘못된 풀이 방법'으로 예를 드는  문제네요 ㅋ

미분가능 문제 하나만 알려주세요..

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