이과수리 포물선타원문제 질문입니다~ㅜㅜㅜ

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답지방법말구요.

여기서 일단 교점을 구하려고했거든요.

교점을 구할때 저는

y^2=8x ...(ㄱ)

x^2/a^2 + y^2/8 = 1 ...(ㄴ)

에서 (ㄱ)식을 (ㄴ)에다 집어넣었거든요.

그럼 x에 대한 2차방정식이 나오는데

x^2/a^2 + x - 1 = 0

이 x에 대한 2차방정식의 근이 그림에 따르면 중근이어야 하니까(1사분면이든 4사분면 교점이든 x좌표는 같으니까)

D=0이어야하는게 아닌가요??

근데 절대 D = 0 이 안나오는 식이라서요.. 제 과정에 어떤게 문제였나요?

요약 ))

y^2=8x ...(ㄱ) x^2/a^2 + y^2/8 = 1 ...(ㄴ) 의 교점구하기

1. (ㄱ)식을 (ㄴ)식에 집어넣는다.

2. x에 대한 2차방정식이 나온다.

3. 제 생각은 이것이 중근이므로 D=0이어햔다..

4. D가 0이 안된다 ㅜ

어디가 문제인걸까요

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13학번^_^ [376459]

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아침™ · 224974 · 12/07/26 11:09 · MS 2008

D=0일 필요가 없습니다. 실제로 x에 대한 이차방정식의 해가 가질 수 있는 값은 서로다른 실근 2개인데 x가 음수일때는 y^2 = 8x를 만족시키는 y값이 없어서(허근이라서) 양수를 취하고 음수를 버린다는 개념입니다. x에 대한 이차방정식이 중근을 가져야한다는 개념이 아닙니다.

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13학번^_^ · 376459 · 12/07/26 13:58 · MS 2011

그럼 연립방정식을 통해 교점을 구한다는것 자체가 잘못된건가요??

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아침™ · 224974 · 12/07/26 15:15 · MS 2008

연립방정식의 해를 풀면 x가 a에 관한 식으로 나오겠지요. 그렇게 나온값을 x좌표에 대입하면 교점을 알 수 있을테고요. 교점에서의 두 접선이 서로 수직이 된다는 조건때문에 a가 구체적으로 정해지는건데 이 조건이 들어가지 않은 상태에선 a에 관한 식으로 나오게 되는것이 당연합니다. 이와는 별개로, 교점을 일단 a에 관한 식으로 구하는것은 문제를 푸는데 불필요한 과정이며 오히려 풀이를 복잡하게 만드는 요인이라고 봅니다.

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wongong · 336531 · 12/07/26 12:33 · MS 2010

오해하셧네요 저기서 문제잘 읽어보시면 타원과 포물선이 접하는게 아니고 그 점에서 각각 타원과 포물선과 접하는 두직선이 수직이어야하죠

그럼 저두식 연립해서 교점좌표찾고 그교점좌표를 이용해서 포물선의 접선, 타원의 접선 찾아서 그 두직선의 기울기를 서로 곱하면 -1이다 로해서 풀면되겟네요.

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wongong · 336531 · 12/07/26 12:33 · MS 2010

타원과 포물선이 접하는 게 아니니 당연히 중근이 안나오겟지요~

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Soha · 387079 · 12/07/26 12:45

글쓴이는 접하는 것이 아니라 두 이차곡선이 만나는 두 점의 x좌표가 같다는 점에서 중근을 떠올린 듯 합니다

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wongong · 336531 · 12/07/26 23:52 · MS 2010

아항 제가잘못읽엇네요.

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wongong · 336531 · 12/07/27 02:24 · MS 2010

다시 읽어봤습니다.

잘보시면,
질문자님이 이렇게 푸셧죠

y^2=8x ...(ㄱ) x^2/a^2 + y^2/8 = 1 ...(ㄴ)

(ㄱ)식을 (ㄴ)식에 집어넣는다.
여기서
식을 f(x)^2=8x, x^2/a^2 + g(x)^2/8 = 1로봐보죠
그러면 질문자님은 결국
f(x)^2=g(x)^2을 푸시게 되는 겁니다.
이것은 결국 h(x) = f(x)^2 - g(x)^2 = x^2/a^2 + x - 1 = 0을 푸시는 것이시죠
그리고 h(x)는 저 위에 그래프를 봤을때 하나의 실근을 갖습니다.

근데 자세히보면 f(x)란 함수는 x>=0에서만 정의되어있습니다.
즉 h(x) = x^2/a^2 + x - 1 함수는 x>=0에서만 정의된 이차식이란 겁니다.
x>=0에서 정의 된 이차식이 한 실근을 갖는다면 꼭 판별식이 0이라고 할 수 없죠. 근을 2개갖더라도(판별식이 0이아니어도) 한근은 양수이고 한근은 음수이면 됩니다.
간단하게 y=(x+1)^2 -2 란 함수만 봐도 이 함수는 x>=0범위에서 하나의 실근만을 갖습니다.
물론 판별식도 0이아니죠

때문에 h(x)란 함수도 판별식이 0이라 할 수없죠

따라서 판별식=0으로 접근하면 안되는 겁니다.

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13학번^_^ · 376459 · 12/07/29 10:59 · MS 2011

감사합니다. 궁금증이 해결됬네요..

정의역이 실수 전체가 아니었었는데, 신경을 너무 안써줬었네요ㅜ ㅎㅎ.. 감사합니다.

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