증가함수와 증가상태의 개념에 대하여.. 기본적인 질문드립니다.

Question

반년을 놀다가 다시 공부를 잡으니 쉽지않네요..

미분을 공부하다가 햇갈리는게 생겼는데요.

1. 미분가능한 함수 f(x) 에서 'f(x) 가 증가 함수이다' 와 '모든 실수 x에서 f`(x)>=0 이다' 는 필요 충분 조건으로 알고있는데 맞나요?

2. 미분가능한 함수 f(x) 가 증가상태인 구간을 찾으려면 f`(x)>0 인 구간을 찾아야 하며 f`(x)=0 인 부분은 증가상태로 볼 수 없다고 알고 있는데 이 역시 맞나요?

3. 그렇다면 '함수 y=x^3 의 그래프는 증가함수이다' 는 참인 명제이지만 '함수 y=x^3 에서 [-1,1] 의 구간은 증가상태이다'는 틀린 명제인가요? x=0 일때 f`(x)=0 이니까요.

질문이 잘 전달되었나 모르겠네요.

답변 부탁드립니다. 감사합니다.

sos440 · Accepted Answer

멍한 상태에서 쓰려니까 말이 두서가 없어지고 괜히 어려워지는게, 수학 공부만 하다 보니 브로카 영역과 베로니케 영역이 퇴화하는 기분입니다. -_-

지금은 교과과정이 바뀌어서 정의가 바뀌었는지 아닌지는 모르겠지만, 적어도 제가 기억하는 한에서 고등학교 때의 증가라는 개념은 소위 순증가(strict increasement)라고 부르는 개념으로, f(x)가 주어진 범위 내에서 증가함수라는 것은 그 범위 내의 임의의 x < y 에 대하여 f(x) < f(y) 를 만족하는 것으로 정의됩니다.

물론 고교과정까지의 수리영역을 제외한 실제 수학 분야에서 증가함수라는 개념은 조금 더 약하고 훨씬 더 쓸모있는 방식으로 정의되는데, 구체적으로 임의의 x ≤ y 에 대하여 항상 f(x) ≤ f(y) 가 성립하는 것으로 정의합니다.

지금까지의 모든 이야기는 감소의 개념에 대해서도 동일하게 적용됩니다. 예를 들어 이 용어들을 이용하면, 구간 위에서 정의된 어떤 함수가 동시에 증가함수이고 감소함수일 필요충분조건이 함수가 상수함수가 되는 것임을 쉽게 알 수 있습니다.

어쨋든 지금부터 나오는 모든 설명에서는 증가함수라는 용어를 후자의 정의로 따르고, 순증가라는 용어를 따로 사용하도록 하겠습니다.

우선 증가 혹은 순증가라는 개념이 함수의 미분가능성이나 연속성과 무관하게 정의됨에 주목하셔야 합니다. 이는 기본적으로 미분가능성 없이도 얼마든지 증가성에 대하여 이야기할 수 있다는 것을 뜻하지요. 따라서 증가성을 미분가능성과 결부시킬 때에는 상당한 주의를 기울여야 합니다.

1. 결론부터 말씀드리자면, 개구간에서 정의되고 미분가능한 함수 f(x)가 증가함수일 필요충분조건은 f'(x) ≥ 0 인 것입니다.

따라서, 같은 가정 하에서 만약 f(x)가 순증가함수라면 f'(x) ≥ 0 이 성립하지요. (하지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않습니다. 상수함수가 대표적인 반례입니다.)

2. 함수 f(x)가 x = a 에서 증가상태라는 것은, 충분히 작은 임의의 양수 h에 대하여 항상 f(a-h) ≤ f(a) ≤ f(a+h) 인 것으로 정의되며, 마찬가지로 x = a 에서 순증가상태라는 것은 부등호를 ≤ 에서 < 로 바꾼 것으로 정의합니다. (이 역시 고등학교 범위에서는 순증가상태를 증가상태로 부르는 것으로 기억합니다.) 이처럼 증가상태나 감소상태에 대한 개념 역시 기본적으로는 미분가능성, 심지어는 연속성과도 무관하게 정의됩니다. 따라서 역시 미분계수를 이용하여 증가상태를 따질 때에는 상당한 주의를 기울여야 합니다.

물론, 두 개념 사이에 관계가 없는 것은 아닙니다. 실제로, 함수 f(x)가 x = a 에서 미분가능하고 증가상태에 놓여있으면, f'(a) ≥ 0 이 성립합니다. 물론 그 역은 거짓이지만, 그 부분적인 역은 다음과 같이 성립합니다: f'(a) > 0 이라면 f(x)는 x = a 에서 순증가상태입니다.

따라서 f'(x) > 0 인 지점은 항상 순증가하는 지점이지만, f'(x) = 0 이어도 얼마든지 그 지점에서 순증가하는 것이 가능합니다. 따라서 f'(x) = 0 인 지점은 다른 방법을 통하여 직접 증가상태인지 감소상태인지를 판별하여야 합니다.

다시 한 번 강조하지만, 미분계수는 미분가능한 함수의 증감상태를 판별하는 데 큰 도움을 주지만, 그 자체로 정의된 것이 아니기 때문에 예외 상황에서는 항상 초심으로 돌아가 정의대로 따져봐야 합니다.

3. 정의에 비추어보시면 아시겠지만. 증가함수는 모든 점에서 증가상태이며, 순증가함수는 모든 점에서 순증가상태입니다. 따라서 f(x) = x^3 이 순증가함수라는 것을 아는 이상, f(x)는 [-1, 1]에서 역시 순증가상태에 놓입니다.

레지스 · Answer

제가 새벽에 졸린 상태에서 질문을 하느라 미쳐 공지도 확인하지 않고 학습태그에 질문을 올린 것 같은데, 삭제하셨나 했더니 태그를 옮겨 주셨네요.

운영자님께 감사드리고, 다음부턴 공지 준수하여 이런 부주의가 없도록 하겠습니다..

증가함수와 증가상태의 개념에 대하여.. 기본적인 질문드립니다.

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