재업) 181121 compact
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집합론 풀이 감상하시죠
우선 직선은 [1, infinity] 전체 구간에서 잘 정의되어 있으며, 연속입니다. 고로, 조건을 만족하는 직선들은 점들 중 e에 대해서도 특정 값을 가질 것인데, 그 값에 관계없이 직선의 기울기가 최소가 되려면 우선 (1,0)을 지나야 합니다.
g(1)의 값이 최대가 될 때 g(e)의 값에 관계없이, 우선은 g(x)의 기울기가 최소가 되기 때문입니다.
이때, g(x)=m(x-1) 이 됩니다.
m(x-1)>=ln(x)-t 가 되는데,
(ln(x)-t)/(x-1)=k(x) 라 하면
을 만족하는 m은 k(x)의 최댓값이 될 것입니다.
이때 주의할 것이, k(x)는 x>=e인 모든 실수 x와 양수 t의 범위에서만 정의된 함수라는 것입니다.
k’(x)를 계산해 보면, 1-(1/x)-ln(x)+t=0 인 경우에 극값을 가지는데, x>=e 일때만 조건을 만족함을 알 수 있습니다.
1-(1/x)-ln(x)+t의 그래프를 그려 보면, t<=1/e 일 때 k(x)는 해당 구간에서 순감소함수가 되므로 최댓값은 k(e)=(1-t)/(e-1)=h(t) 가 됩니다.(t=<1/e)
이가 아닐 경우에는 당연히 1-(1/x)-ln(x)+t=0 인 경우가 조건을 만족하고, 이때 h’(t)=-1/(x-1) 임을 계산을 통해 확인이 가능합니다.
이전에 그래프를 그려서 풀었다면, “이렇게 정의된 함수는 언제든지 구간별로 바뀔 수 있다”,
“그래프 그릴 때 잘 그려 보자“, 정도의 행동영역을 뽑아내는 것이 다일 것입니다.
제가 이정도밖에 못 뽑아 냈는데, 더 뽑아내셨다면... 멀리서나마 사죄드립니다.
하지만, 이렇게 함수의 구간을 중심적으로 해석하여 존재성을 중심으로 문제를 푼다면,
”구간 내에서 함수가 잘 정의되어 있는가“
라는 기본적인 아이디어만 가지고도 이렇게 문제를 푸는 것이 가능해집니다.
이렇게 저는, 다양한 문제를 접하고, 시간을 초과하고, 힘들 때마다 그 문제의 다양한 풀이를 생각하며 그로부터 생각할 수 있는 함수론의 가장 본질적인 것들에게서 아이디어를 얻을 방법을 생각했고, 그를 통해
구체적인 행동영역이 아닌, 추상적인 ”지론“ 으로부터 거의 모든 새로운 발상들을 해 낼 방법을 찾게 되었습니다.
다음에는 제 자작문제와 사용이 허락된 사설 문제를 통해서
이것의 힘과 구체적인 제 지론이 무엇인지를 알아보도록 하겠습니다.
읽어 주셔서 감사합니다.
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