미분가능성이랑, 미분계수 정의 관련 질문..

Question

함수 f(x) 가 있어요. 

lim h->0 일때 

{f(a+h)-f(a-h)}/2h 가 존재하면 미분가능하다. 

라는 얘기가요. 

틀린말이잖아요. 
근데 미분계수의 정의에는 y변화량/x변화량 의 극한값을 미분계수라 한다. 라고 되어잇는데, 

전 , 그래서 아하! 델타x분의 델타y 의 극한이 존재하면 당연히 미분가능하지! 이렇게 생각했는데요. 

어디서 잘못된 건가요ㅠㅠ 

{f(a+h)-f(a-h)}/2h 가 x의 변화량분의 y의 변화량이 아닌건가요 ? ㅠㅠ

wolfshazy · Accepted Answer

미분이 가능하다는 것은 좌,우미분계수가 같아야 하죠 
위 식은 우미분계수와 좌미분계수의 평균값인데 
그 두 값이 같다고 할수는 없지요 

예를 들자면 f(x)=|x| 는 x=0 에서 
좌,우미분계수의 평균값이 0으로 존재하지만 0에서 미분가능하진 않지요

wolfshazy · Answer

결정할수 없고 dy / dx 라 볼수 없어영ㅋ
미분가능전제가 없으면 아래식도 f'(0)라 할수 없고요

그리고 저런식들은 이해만 제대로 되어있고 익숙해지도록 적응만 되면 f(a)를 빼고 더하는 과정은 생략해도 되지만 원론적으론 정의를 이용해서 푸는게 맞아요 ㅎㅎ

지나가는나그네 · Answer

음 왜 delta y / delta x 로 볼 수없는건가여??

sos440 · Answer

미분가능성의 엄밀한 정의는, 한쪽 끝을 (기호로 적자면, 예를 들어 x = a 라는 점에) 고정시킨 상태에서 모든 논의를 전개합니다. 따라서 이 정의를 만족하지 않는 경우는 '정의에 의하여' 미분이 불가능합니다.



그런데, 한쪽 끝이 고정된 경우가 아닌 양쪽 끝이 모두 자유롭게 변할 수 있는 경우에 그 양끝점에서의 평균기울기의 극한은 어떻게 될까요?

우리는 분명히 이런 경우가 미분가능성의 정의에 의하여 정당화되기를 원하며, 그것이 우리의 직관입니다.

결론적으로, 적당히 말로 적어보자면 다음 두 사실이 서로 필요충분조건임이 증명되어 있습니다.

(1) f(x)는 x = a 에서 미분가능하며, 그 지점에서 미분계수 값이 f'(a)이다.

(2) x = a 양 쪽에서 비슷한 속도로 접근하는 '임의의' 경우에 대하여, Δy/Δx 가 f'(a)로 수렴한다.


미분가능성은 이처럼 강력한 조건입니다. 따라서 요약하자면,

(i) 미분가능성은 우선 정의대로 따져야 한다.

(ii) 우리가 직관적으로 생각하는 '평균기울기의 극한'이라는 개념에서 미분가능성이 유도되려면, 한 가지 경우가 아닌 '가능한 거의 대부분의 Δx → 0 인 경우에 대하여 Δy/Δx 가 같은 값으로 수렴해야 한다' 는 조건이 필요하다.

는 것을 알 수 있습니다. 질문하신 경우는 이러한 조건들에 부합하지 않는 더욱 약한 조건이 됩니다.



p.s. 그러면 lim_{h→a} {f(a+2h) - f(a-h)}/3h = L 이 존재하면 f(x)는 x = a 에서 미분가능할까요? 네, 놀랍다면 놀랍고 당연하다면 당연하게도, 이 경우 f'(a)가 존재하고 L과 같은 값을 가집니다. 일반적으로, |p| ≠ |q| 일 때

lim {f(a+ph) - f(a-qh)} / (p-q)h = L

가 존재할 필요충분조건은 f(x)가 x = a 에서 미분가능하고 f'(a) = L 인 것입니다.

백효월 · Answer

위 명제는 틀렸다고 할 수 있습니다 
기존 맞는 명제는 x가 임의의 점 a에서 미분 가능하다 라는 조건이 붙어야 위 언급하신 식이 f’(a)라 할 수 있습니다 그 이유로는 x의 값이 a-h에서 a+h까지 변할때의 함수의 평균변화율이지만 움직이는 두 점만 존재할 뿐 정점이 없기 때문에 같다 할 수 없습니다. 따라서 필요한 조건이 미분 가능하다는 것이 언급 돼있어야 하는 것입니다.

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