고교 수학 공부법(단권화 노트법) - 4

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고교 수학 공부법(단권화 노트법)

이 글은 대부분의 학생이 대학 때 알게 되는 단권화 공부법을 어떻게 하면 고교 때부터 적용시켜 공부의 효율을 높일 수 있는가에 대해 살펴 본 것입니다. 수학 교사, 강사 분들이 보는 웹사이트에 올려 비평을 받았는데 좋은 반응이 있어 일반 학생과 학부모님께도 글을 드려 봅니다. 이 글 다음으로는 학부모님께서 학생 공부를 효율적으로 돕는 방법에 대한 내용을 만들어 보겠습니다.

차례 1) 중학 수학 공부와 고교 수학 공부의 차이 2) 내신 공부와 수능 공부 3) 수학 교재 분석 4) 실력 정석 공부 문제 5) 단권화 공부법 6) 단권화와 학원 공부의 조화

4) 실력 정석 공부 문제

수학의 정석은 참 독특한 책입니다. 수십년 전에는 해법과 함께 고교 수학 참고서 시장을 양분했고, 지금도 그 내용과 체제가 변하지 않았음에도 그대로 수학 개념서의 1위를 달리고 있습니다. 대형 서점의 정석 칸에 가 보면 가끔 '이 책이 아직도 팔리냐'는 말을 듣기도 합니다. 하지만 인터넷에는 '정석 공부법'이란 글이 돌아다닐 정도로 정석을 보는 사람이 많습니다. 또 그만큼 정석에 좌절하는 학생도 많습니다.

앞에서도 적었지만 정석은 60-70년대에는 참신한 체제를 갖고 등장한 책입니다. 일본 책의 체제를 가져왔다는 말을 많이 듣습니다. 미국 책과 일본 책을 비교해보면 미국 책은 줄글로 자세히 설명되어 있고 (가끔 농담도 들어있습니다) 자습에 좋은 반면, 일본 책은 요점만 딱딱 정리되어 있고 한 쪽이나 한 단원이 정해진 분량으로 맞추어져 있습니다. 물론 요즘은 일본 책도 미국화되어가고 있습니다. 미국 책은 전세계 사람들이 읽을 것을 염두에 둔 것이라서 각종 해설도 풍부하고 수학, 공학 책 등은 해설집도 따로 나옵니다. 일본 책은 인구가 많은 나라이어서인지 학교 외 학원 교육이 가능하리라는 전제 하에 선생에게서 배울 것을 전제로 만들어진 책자라고 느껴집니다.

정석도 위의 일본 책의 특징을 갖고 있습니다. 한 쪽별로 딱딱 나누어진 분량, 각 쪽의 예제가 어떤 관계를 갖는지 설명이 없는 점, 자습보다는 선생이 가르칠 것을 전제로 하는 책자라는 생각이 듭니다. 사실 제가 공부하던 학력고사 시절에는 학원없이 학교 선생님만으로도 수학을 충분히 가르쳤고(당시 선생님들은 학생처럼 7시 출근, 밤 10시에 퇴근했고, 학생들의 대학 진학에 대해 책임을 졌습니다), 학생들도 스스로 수학을 자습했고 그 때 공부했던 대표적인 책이 정석이었습니다. 이를 보면 정석이 꼭 어려운 책이라는 생각은 안 들기도 하지만 공부 효율이 나쁜 편인 것은 사실입니다.

정석이 인기는 약간 감소했지만 수능 시대에도 체제 변화없이 그대로 적응할 수 있었던 것은 무엇보다 2000년대로 오면서 수학 과목의 난이도 약화가 일어났기 때문이라는 생각이 듭니다. 1990년대에는 대학 자율화, 2000년대에는 특성화 교육이 강조되면서 모든 과목을 전반적으로 잘 하는 학생보다, 특정 과목만 잘 하는 것으로도 대학 진학이 가능해 졌고, 또 교육도 중간층의 실력 강화보다는 하위권 구제와 뛰어난 상위권 배출을 목표로 하게 되었습니다. 그러다 보니 전반적인 수학 공부량은 줄어들게 되었지만(수포자-수학 포기자-라는 말이 그를 대변합니다) 특정 학생들은 대학 수학까지 미리 공부하게 되는 기이한 현상을 보이게 되었습니다. 이처럼 2010년대 이전까지는 수학 과목이 약화되었기 때문에 정석도 학력고사에서 수능으로의 변화에 대한 별 대응없이도 그 인기를 유지한 것이라 생각됩니다. 흥미로운 것은 각종 경시대회 등 특수한 시험의 문제가 일부 정석에 유입된 것 같다는 느낌도 있습니다. 정석 연습문제를 보면 우연적인 풀이를 가진 문제가 꽤 있습니다. 이런 문제를 푸는 것은 소위 말하는 천재 퀴즈에나 도움이 되며, 수학 자체의 실력 향상에는 도움이 안 됩니다(이런 문제는 결국 풀이를 외워야 합니다) 학생들이 정석에 짜증을 내는 이유 중의 하나가 여기에 있습니다.

정석은 물론 다른 수학 책자들도 다음의 문제점이 있습니다.

첫째, 개개의 하위 챕터에 대해 연관성이 없어서 어떤 순서와 어떤 이유로 이 부분이 들어있는가에 대한 감이 생기지 않습니다. 특히 유형별로 예제를 연달아 나열하는 것은 유형 연습에는 좋습니다. 하지만 유형별로 암기하는 방식으로 공부하게 되고, 문제에 대한 해법을 찾아가는 생각 흐름을 연습하는 것에는 도움이 되지 않습니다.

둘째, 문제에 대한 해설 특히 연습문제에 대한 해설은 숫자 계산에 해당되는 부분만을 쓴 것처럼 느껴집니다. 동일 문제에 대해 '왜 이런 방법이 아닌 이 방법을 택했는가'에 대한 단서를 주어야만 학생들의 실력이 늘어나게 되는데 이 부분이 약합니다(수학의 바이블 책이 이런 면에서 좋습니다)

마지막으로 특정 단원의 난이도가 매우 높습니다. 이산량을 취급하는 정수 관련 단원과 행렬 등이 그러하다고 느껴집니다. (저자가 혹시 이 부분 전공인가 하는 생각도 듭니다) 사실 정수 관련 문제의 풀이에서는 새로운 공식의 이해와 적용보다는 개별 문제의 해법을 외워야 하는 식의 문제가 많습니다. 이는 고1학년 수학 과정 목표 자체가 중학 과정의 수학 개념을 더 확장하지 않고 적용 연습을 시킨다는 것에서 문제인 것 같은 느낌도 듭니다. 하필이면 이 정수 부분이 고1 초반에 나오기 때문에 수학을 좋아하던 학생마저도 여기서 정이 떨어지게 만들 정도입니다. 반대로 학원에서는 이를 핑계로 들어 고1과정 선행수업을 강력히 주장합니다. 고교 수학에도 중요한 새로운 수학이 많습니다. 삼각함수, 지수와 로그, 벡터와 행렬, 미분과 적분, 이항정리와 확률 통계론 등 새 것을 배우면서 재미를 느낄 부분이 많은데, 그를 접하기도 전에 포기하게 만든 것입니다. 특정 단원의 난이도가 매우 높은 것은 정석에서 심하게 나타난 문제인 것 같아 이를 자세히 써 봤습니다.

위의 단점에도 불구하고 정석을 공부해야 하는 이유는 다음과 같습니다. 절대 다수의 학생들이 이를 공부하기 때문에 상대 평가 시험에서는 어쩔 수 없이 봐야 하는 책이고, 수학 시험 문제를 내는 선생님들이 정석 책자를 참고하는 분이 많기 때문에 아직도 시험에 유용한 책입니다. 그리고 개념 설명 부분(공식 유도 등)이 일반적인 책자에 비해 충실한 편이고, 특별히 빠진 부분이 없는 책자라서 학생들이 많이 봅니다.

이제 정석 수학책의 공부법을 간략히 살펴보겠습니다.

웹사이트 등에 나오는 일반적인 수학책 공부법으로는 1) 개념공부(공식 유도와 이해)를 충실히 한 뒤 2) 예제를 완전히 습득하고(안 보고 풀 수 있을 때가지) 3) 연습문제를 가능한 답을 보지 않고 풀고, 잘 안 풀렸던 것은 오답노트를 만들어 적어두라 는 것입니다. 정석에도 이런 공부법이 권해집니다. 개인적인 생각으로는 정석보다 쉬운 문제집을 풀고, 대신 수능 기출 문제를 빨리 접하는 것이 효율적인 공부라고 보며, 정석보다 쉬운 개념서도 있으니 그를 통해 개념을 이해하고 정석은 연습문제만 이용하는 것이 낫다는 생각이 듭니다.

정석 공부의 가장 큰 난점을 바로 연습문제가 유형별 구분이나 순서없이 그냥 난이도 순으로 배열된 것 같고, 그 중에는 일반적인 학생에게는 도움되지 않는 부분도 있어서 생략해야 하는 부분이 있다는 점입니다. 또 정석 책자의 연습문제는 소위 말하는 상위권 학생들이 보는 것이라고 생각해서인지 가능한 답을 보지 말고 풀라는 방법이 권해지는데 이렇게 되면 정말 공부 효율이 나빠지고 공부 의욕마저 떨어집니다 (공부 의욕이 넘쳐 정석 공부 때 답을 안 보고 풀었고, 이를 세 번 반복하여 대학입시에서 좋은 수학 성적을 거둔 친구가 있었는데, 정작 다른 과목의 공부시간이 모자라 원하는 대학을 가지 못 했던 예가 있습니다)

정석의 연습문제를 어떻게 적절히 구분하여 풀고, 또 어떤 문제만 해설지를 봐서 참고해야 할 지에 대해 답해주는 사람은 드뭅니다. 가장 좋은 방법은 선생님(더 정확히는 학원 강사겠지만..)이 제시하는 순서대로 따라가며 공부하는 것입니다. 하지만 이는 과외 선생이나 개별 지도 학원 선생님이 있다는 전제에만 가능할 것입니다.

저는 다음의 요령을 권합니다. 쉬운 책자의 연습문제(해설이 잘 되어 있고, 유형별 정리가 이미 되어 있으며 수능 문제 등 특정 시험의 문제는 출제 연도가 표기된 것이 좋음)를 풀고 나면, 정석 책자의 연습 문제 유형과 쓸데없이 어려운 문제의 구별이 가능해집니다. 쉬운 책자의 연습문제를 다 풀고서 정석의 연습 문제 중 막히지 않고 풀릴 만한 것을 먼저 풀고, 어려워 보이는 것은 해설을 읽어가면서 '왜 이런 해법을 택해서 풀었는가, 어떤 계산법이 더 효율적인가, 검산을 하는 데에는 어떤 방법이 더 효율적인가'를 생각하고, 문제 풀이와 함께 자신이 생각해 낸 내용을 적어둡니다. 쓸데없이 어려운 문제는 포기하십시오. 어차피 시험에 나와도 정답을 구해내지 못합니다. 시간상 정답 확인까지 해내기 어렵기 때문에 결국은 계산하다가 틀립니다. 이는 수학 공부가 취미일 정도의 학생에게나 적당한 것이며 그런 것은 틀려도 좋은 대학 가는데 지장이 없습니다.

정석처럼 골치아픈 책자를 공부하는 데에는 아주 중요한 원칙이 있습니다. 해설지를 보고 풀든, 안 보고 풀든 '나의 확실한 풀이법(특히 왜 이런 해법을 택했는가에 대한 설명이 가능해야 함)을 가진 사람'은 그 문제를 시험장에서 풀 수 있고, 혼자 풀었다하더라도 확실한 풀이법을 연습하지 못 한 사람은 결국 시험장에서 그 문제를 틀립니다. 어떤 분은 이를 강조해서 '스스로 풀든, 답지를 보고 풀든 꼭 자신의 노트에 자신의 언어와 그림으로 풀이법을 써 놓아야만 문제를 푼 것이다. 그 외에는 안 푼 것과 같다'라고 한 적도 있습니다. 그러니 해설지를 보는데 주저하지 마시고(그런다고 창의성이 없어지는 것은 절대 아닙니다. 실효적인 창의성은 천재성이 아니라 숙달된 지식의 새로운 연결에서 나오게 됩니다. 이는 인적자원 개발론에서 증명된 것입니다) 대신 나의 해법으로 만드는 데 노력하시는 것이 필요합니다.