대학수학 -어떤함수가 전사함수인지의여부

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제가 지금 대학교1학년 수학수업을 듣고있는데요. 이해가 안가는부분이있어서 글올립니당..

네이버 지식인에 올린거 그대로올리는데 양해좀 ㅠㅠ.. 그거 수식을 사용하는게 여간 힘든게아니라서 ... 막 없어지고 난리도아니라서

몇번이나 글을 다시썼는지 참. .;;ㄷㄷ 그래서 분노로인해 띄어쓰기도 잘 안되있고 그렇긴한데.. 양해부탁드립니다.

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한가로운산책 [336988]

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sos440 · 104180 · 12/03/11 02:21 · MS 2005

이런 논리적 순서리 이해하시면 되겠습니다.

(1) 임의의 y∈R 을 하나 고르자.

(2) 우리가 보여야 할 것은, f(x) = y 를 만족하는 x가 정의역에 존재하는 가이다.

(3) 간단한 조작을 통해, x = y+1 은 실수이므로 정의역에 포함되고, f(x) = y 를 만족한다.

(4) 따라서 f(x) = y 를 만족하는 x가 정의역에 존재한다.

(5) y는 임의이므로, 임의의 y에 대하여 f(x) = y 를 만족하는 x가 정의역에 존재한다.

(6) 이는 전사함수의 정의이므로, f는 전사함수이다.

여기서 특히 (1)과 (5)를 논리적으로 눈여겨보시기 바랍니다.

(1)에서는 '모든'이라는 수식어가 제거되었고, 하나의 예제가 선택되었습니다.

그리고 (5)에서는, 그 예제가 사실은 어떠한 조건도 달고 있지 않기 때문에 결국 '모든'이라는 수식어로 묶일 수 있음을 알려주지요.

즉, '모든'이라는 사실을 증명할 때, 우리는 '조건이 주어지지 않은' 임의의 예제를 하나 골라 그에 대해 증명하고, 이로부터 모든 경우에 대한 사실을 이끌어냅니다.

이를 논리학에서는 각각 universal instantiation과 universal generalization이라고 합니다.

이름은 아실 필요가 없지만, 적어도 위의 예제로부터 우리가 '모든'이라는 수식어가 붙는 명제를 논리적으로 어떻게 이해해야 하는지에 대한 방향을 잡으셨으면 좋겠습니다.

정리하자면, 명확하게 적혀있는 '모든'이라는 성질을 변수 자체의 임의성으로 바꿔 생각할 수 있다는 것입니다. 그리고 이것이 우리가 이런 종류의 명제를 이해하는 방식입니다.

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한가로운산책 · 336988 · 12/03/11 23:41 · MS 2017

답변해주셔서 정말 감사합니다... 수학이 좀 어렵네염. .ㅇㅅㅇ

흠,,, 그럼 교수님이 보여주신 예제중에서 질문이 또 있는데요..

y= x+1/ x-1 -> 2/x-1 +1 인데.. 모든함수는 우선 f:R -> R 아닌가요? 그럼 공역도 ,정의역도 다 모든실수인데.

(1) 번에서 모든실수인 공역에서 임의의 y 를 잡을때 y=1 을 잡을수도 있다는건가요?

정리하자면, 전사함수의정의 " 공역내에서 임의의원소 y 에대하여 항상 정의역의원소 x가 존재한다" 를 증명하기위해서

우선 함수가 f : R -> R 이니까 공역도 모든실수잖아요. 그 실수내에서 (1) 번에서의 임의의원소 y=1 을 잡게된다면

y=1 에 대응되는 x값이 존재하지않으므로 y = x+1 /x-1 은 전사함수가 아니군요...

근데 교수님꼐서 이함수가 전사함수인듯이 설명하셨는데 ...ㅠㅠ

이것떄매 돌겠습니다 .. 분명 이다음 문제로는 y=x^2 을 다뤘는데.

여기선 공역내에서 y= -1 을 선택하게된다면 이걸 만족하는 정의역의 원소 x 가 존재하지않으므로 전사함수가 아니다. 라고하셨는데..

y= x+1 /x-1 도 똑같은원리로 y=1 에대해선 전사함수가 아닌데, 이건 전사함수인듯이 설명하셨는데 ..ㅠㅠ 아 복잡해..

---------------저의 질문을 요약하자면------------------

y= x+1 /x-1 에서, f : R -> R 일때, "공역내의 임의의원소 y 에대하여 정의역의원소 x 가 존재한다. " 를 증명하는 과정에서

제가 y=1 을 써서(공역이 실수전체니까 아무거나 써도되잖아요.)

" 공역내의 임의의원소 y=1 에대하여 정의역의원소 x가 존재하지않는다" 라는 반례를 들었는데.

이게 맞는반례인지 아닌지 궁금합니다.

또한 , 이건 위키피디아에도 있고 교수님도 똑같이 설명하셨기때문에 정확한데요.

y=x^2 에서, f: R -> R 일때, "공역내의 임의의원소 y 에대하여 정의역의원소 x 가 존재한다. " 를 증명하기위해서

y= -1 을 써서 " 공역내의 임의의원소 y=-1 에대하여 정의역의원소 x가 존재하지않는다" 라는 반례로

y=x^2 이 전사함수가 아니라는걸 증명했습니다. (위키에서도, 교수님께서도..)

같은원리라면 분명 y=x+1 /x-1 도 전사함수가 아니어야되는데 ...

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sos440 · 104180 · 12/03/12 02:27 · MS 2005

네, 전사함수가 아닙니다. 주어진 함수의 정의역은 R-{1} 이고, 주어진 함수의 치역 역시 R-{1}입니다.

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한가로운산책 · 336988 · 12/03/12 19:41 · MS 2017

네 ㅋㅋ 궁금했던것이 속시원히 해결이됬어요.

오늘 교수님께도 확인사살로 질문드려봤는데 아~주 엄밀히말하면 전단사가 아니라네요.

근데 보통 유리함수를 정의할때 그냥 공역에서 y=1 같은건 빼고 생각을하기때문에

그걸 그렇게치고 말씀하셨던거래요 ㅋㅋ

감사합니다!!

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