간단한 정적분 계산문제좀 도와주세요.

Question

인테그랄1~4  [x]sin파이x dx 를 계산하는 문젠데요.정적분의 기본 성질은 연속함수 일때, 적용되잖아요. 저 함수는 연속함수가 아닌 것 같은데 구간을 분리해서 풀어도 되는 건가요?그리고 구간을 분리해도 된다면 어떻게 해야하나요?인테그랄 1~2까지 2~3까지 3~4까지 이렇게 분리한다면, 폐구간 1~2와 2~3 3~4에서 전부 저 함수가 불연속인데 어째서 구간을 분리해도 되는 건가요? 정적분의 기본 성질에는 연속이란 조건이 포함되어 있더라구요...그리고 이건 딴 얘긴데정적분이 연속이 아닌 함수에서도 정의 될 수 있다고 배운거 같은데...(유한한 불연속점을 가진 함수는 정적분이 정의 될 수 있지않나요?)교과서나 참고서에는 연속이 되어야 한다고 되있고.........도대체 뭐가 맞는 건지...

sos440 · Accepted Answer

피적분함수가 연속이면 구간을 n등분해서 극한을 취하는 구분구적법의 아이디어만으로도 충분히 적분을 잘 정의할 수 있습니다.

하지만 불연속을 허용하는 상황에서는 구간을 n등분하고 그 n등분된 각 소구간들의 맨 끝점을 취하는 전략으로 적분이 잘 정의되지 않을 수 있습니다.

때문에 고등학교 과정에서는 연속함수에 대해서만 우선 적분을 정의하는 것입니다.

일반적인 함수들에 대해서는 좀 더 일반적인 언어로 적분을 정의해야 합니다. 구체적으로,

(1) 구간을 n개의 소구간으로 나누되, 등분을 하지 않는다. 단, 소구간 중 가장 긴 구간의 길이를 점점 줄이고 나누는 구간의 개수를 늘인다.

(2) 각각의 소구간 내의 임의의 점을 택할 수 있도록 제약을 완화한다.

를 통해 얻어진 새로운 정의는 기존의 연속함수를 포함하여 좀 더 넓은 범위의 함수를 적분할 수 있게 되는데, 이렇게 정의된 적분을 리만 적분(Riemann integral)이라고 합니다.

임의의 연속함수는 물론 리만 적분 가능하고 기존의 적분과 일치하며, 더 나아가서 불연속점이 유한 개인 함수도 적분할 수 있습니다. 그리고 물론 리만적분은 고교과정에서의 정적분과 마찬가지로 구간을 쪼갤 수 있습니다. 때문에 이 문제에서도 불연속점을 기준으로 적분을 쪼개서 계산하는 데 아무런 하자가 없습니다.

물론 엄밀한 의미에서 고등학교 과정에서 불연속인 함수의 정적분을 다루는 것은 교육과정 외이지만, 적어도 유한개의 불연속점을 가지고, 불연속점을 기준으로 끊은 각각의 소구간에서 주어진 함수들이 적분된다면 우리는 전체 구간에서의 적분을 각 소구간에서의 적분값의 합으로 정의할 수 있고, 이는 리만적분과도 일치합니다.

여담으로, 측도라는 개념을 배우면 훨씬 더 일반적인 범위의 함수들에 대해 르벡 적분(Lebesgue integral)을 정의할 수 있으며, 이 적분은 적분 영역을 구간이 아닌 훨씬 일반적인 집합으로 바꿀 수 있고, 르벡적분의 이론을 일반화시키면 임의의 측도공간에서 적분을 정의할 수 있습니다. 이러한 추상적인 공간에서의 적분의 대표적인 경우가 바로 확률공간에서의 기대값인데요, 기대값은 확률변수의 확률측도에 대한 적분으로 정의됩니다. 또한 그 외에 르벡적분의 특이적분 버전인 쿠르츠바옐-헨스톡 적분(Kurzweil-Henstock integral)이나, 르벡적분의 특별한 케이스로서 확률분포 적분에 유용한 르벡-스틸체스 적분(Lebesgue-Stieltjes integral), 그리고 르벡-스틸체스 적분을 브라운 운동에 대한 적분으로 일반화시켜 확률과정에 대한 적분을 하는 이토 적분(Ito integral) 등 적분의 정의는 다양합니다.

간단한 정적분 계산문제좀 도와주세요.

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