일차변환이 일대일대응이 아니면 왜 f에 의해

Question

일차변환 에서
역변환이 존재하면 즉 일대일대응이면 비슷한형태로 도형이 옮겨지는데
왜 일대일 대응이 아니면 원점을 지나는 직선으로만 옮겨지나요?

sos440 · Accepted Answer

선형대수의 벡터공간과 선형변환의 rank라는 개념을 알면 훨씬 이해하기 편하지만, 그렇지 않아도 간단하게 이해할 수 있습니다.

주어진 선형변환에 대응되는 행렬 A가 영행렬이 아니면서 역행렬을 갖지 않는다고 합시다. 그러면 A = {{a, b}, {c, d}}라고 적었을 때, 두 벡터 (a, b)와 (c, d)가 평행합니다.

따라서 일반성을 잃지 않고, 어떤 벡터 v = (p, q)와 두 상수 k, l에 대하여 (a, b) = k(p, q), (c, d) = l(p, q)로 적을 수 있습니다. 그러면 A에 의해서 점 (x, y)는

(ax + by, cx + dy) = (kpx + kqy, lpx + lqy) = (px+qy)(k, l)

로 옮겨집니다. 즉, x, y의 값에 상관없이 옮겨진 점은 항상 [원점을 지나고 방향벡터가 (k, l)인 직선] 위에 놓이게 됩니다.

일차변환이 일대일대응이 아니면 왜 f에 의해

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