take me home 님의 고난이도 문제 (1c) 풀이

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16번. Shell method로부터

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_{n}%20=%20\int_{0}^{2\pi}%202\pi%20x%20|y|%20\;%20dx%20=%202\pi%20\int_{0}^{2\pi}%20x^{a+1}|\sin%20nx|%20\;%20dx$

입니다. 그런데 n → ∞ 이면 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?|\sin%20nx%20|%20\;%20dx%20\to%20\frac{2}{\pi}%20\;%20dx$ 이므로, 이로부터

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_{n}%20\to%204%20\int_{0}^{2\pi}%20x^{a+1}%20\;%20dx%20=%20\frac{4%20\cdot%20(2\pi)^{a+2}}{a+2}$

를 얻습니다. 조금 더 엄밀하게 풀자면, 다음의 일반적인 결과를 활용하도록 합시다.

Theorem. 양수 T에 대하여,

f : [0, T] → R 이 연속함수이고,
g : R → R 이 임의의 실수 x에 대해 g(x+T) = g(x)를 만족하며,
g는 임의의 유한한 구간 위에서 적분 가능

하다고 하자. 그러면 다음 식이 성립한다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to\infty}%20\int_{0}^{T}%20f(x)g(nx)%20\;%20dx%20=%20\left[%20\int_{0}^{T}%20f(x)%20\;%20dx%20\right%20]\left[%20\frac{1}{T}%20\int_{0}^{T}%20g(x)%20\;%20dx%20\right%20]$

증명)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%20\int_{0}^{T}%20f(x)g(nx)%20\;%20dx%20&=%20\sum_{k=1}^{n}%20\int_{\frac{k-1}{n}T}^{\frac{kT}{n}}%20f(x)g(nx)%20\;%20dx%20\\%20&=%20\sum_{k=1}^{n}%20\int_{0}^{T}%20\frac{1}{n}f\left(\frac{t+(k-1)T}{n}%20\right%20)g(t)%20\;%20dt%20\qquad%20(nx%20=%20t%20+%20(k-1)T)%20\\%20&=%20\frac{1}{T}\int_{0}^{T}%20\left[%20\sum_{k=1}^{n}%20\frac{T}{n}f\left(\frac{t+(k-1)T}{n}%20\right%20)%20\right%20]g(t)%20\;%20dt%20\end{align*}$

이고 f가 [0, T] 위에서 연속이므로, n → ∞ 을 취하면 피적분함수 내부의 대괄호로 묶인 항이 [0, T] 위에서의 f의 적분으로 수렴합니다. 따라서 (일반적으로는 Lebesgue's dominated convergence theorem, 혹은 위의 문제와 같이 g가 연속함수인 경우에는 단순히 uniform convergence의 성질 등을 적용하면) 원하는 바가 증명됩니다.

17번. 높이 z일 때의 주어진 영역의 단면의 넓이를 구해봅시다. 대칭성에 의하여, 1사분면에 속한 영역에 대해서만 계산해도 충분합니다.

높이 z일 때의 사각뿔의 단면은 한 변의 길이가 2(1 - z/3) 인 정사각형입니다. 따라서 이 단면의 1사분면에 속한 부분은 한 변의 길이가 (1 - z/3) 인 정사각형입니다.

우리가 원하는 영역은 x² + y² ≥ 1 인 영역과 이 정사각형 내부의 영역의 교집합입니다. 이 교집합이 공집합이 아니려면

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?0%20\leq%20z%20\leq%203\left(1%20-%20\frac{1}{\sqrt{2}}%20\right%20)$

여야 하며, 이 범위 내에서 해당 교집합의 넓이는 간단한 기하학적 논증을 통해

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left(%201%20-%20\frac{z}{3}%20\right%20)^{2}%20-%20\left(%201%20-%20\frac{z}{3}%20\right%20)\sqrt{1%20-%20\left(%201%20-%20\frac{z}{3}%20\right%20)^{2}}%20-%20\left\{%20\frac{\pi}{4}%20-%20\cos^{-1}\left(%201%20-%20\frac{z}{3}%20\right%20)%20\right\}$

가 됨을 알 수 있습니다. 이제 이 값을 위의 범위에서 적분한 뒤 4배를 해 주면 원하는 부피

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%20V%20&%20=%204\int_{0}^{3\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}%20\right%20)}%20\left[%20\left(%201%20-%20\frac{z}{3}%20\right%20)^{2}%20-%20\left(%201%20-%20\frac{z}{3}%20\right%20)%20\sqrt{1%20-%20\left(%201%20-%20\frac{z}{3}%20\right%20)^{2}}%20-%20\left\{\frac{\pi}{4}%20-%20\cos^{-1}\left(%201%20-%20\frac{z}{3}%20\right%20)%20\right%20\}%20\right%20]%20\,%20dz%20\\%20&%20=%204+4%20\sqrt{2}-3%20\pi.%20\end{align*}$

를 얻습니다.

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sos440 [104180]

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닥헬스 · 389732 · 12/01/29 13:03

으아아 멘붕

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Hack · 365327 · 12/01/29 14:10 · MS 2011

17번의 경우 1사분면에서 x=cosΘ 로 자른 단면이 3(1-cosΘ)(cosΘ-sinΘ)이고

V/8 = ∫3(cosΘ-sinΘ)(1-cosΘ)(-sinΘ) dΘ 를 구하면

V = 4+4√2-3pi

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sos440 · 104180 · 12/01/29 22:04 · MS 2005

호오, 직교좌표보다 간단하네요 -ㅁ-;;

전 그냥 무식하게 풀었는데...

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Hack · 365327 · 12/01/29 14:14 · MS 2011

16번이 좀 어렵네요

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Hack · 365327 · 12/01/29 14:28 · MS 2011

V_n = ∫ 2πx│x^a sin nx │dx 을

nx = p 로 치환하여 삼각함수의 반주기 구간의 적분 급수. (2π/n^(a+2) ) ∑(k=1~2n) ∫((k-1)π~kπ) p^(a+1) │sin p│dp 로 바꾸면

[(k-1)2π]^(a+1)│sin p│ ≤ p^(a+1) │sin p│ ≤ (kπ)^(a+1) │sin p│. 이므로

(4π/n^(a+2)) ∑[(k-1)π]^(a+1) ≤ V_n ≤ (4π/n^(a+2)]∑(kπ)^(a+1)

lim 무한대 취하면 양싸이드가 무한급수를 정적분으로 고치는 꼴을 취하여 계산하면 4(2π)^(a+2)/a+2 에 수렴.

따라서 샌드위치 정리를 통해 구하고자 하는 V_n = 4(2π)^(a+2)/a+2

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take me home · 339827 · 12/01/29 15:06 · MS 2010

두분 풀이모두 노트에 필사해보았습니다.
대단들 하십니다 -.-b

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Hack · 365327 · 12/01/29 15:12 · MS 2011

작년에 대수경 준비하신다고 하셨던거 같은데 상 타셨나요? ㅎ

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take me home · 339827 · 12/01/29 15:16 · MS 2010

묵비권을 행사하겠습니다 ^^

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