숨마쿰라우데 개정수1 케일리해밀턴정리

Question

숨쿰수1 44p에 케일리해밀턴정리의 역을 이용할때 설명이 나와있는데요단위행렬의 실수배가 아닐때만 쓸수있다고 나와있는데 증명과정이 잘 이해가 안가네요결과만 외우긴 좀 그런것 같고.. 구체적으로 ㄱ식이 임의의행렬A와 무슨 관계인지 잘 모르겠네요..그리고 ㄱ식과 ㄴ식을 빼는건 두 식을 만족하는 공통의 A를 구하려고 하는건가요?글로 보고 답변하시는 분들에게는 죄송합니다 제가 능력이 없어서 증명과정을 못올리겠네요ㅜ

만족 · Accepted Answer

케일리헤밀턴정리 증명이

성분연산으로 증명하지않나요?ㅠㅜ

sos440 · Answer

깊이, 그리고 일반적으로 이해하시려면 선형대수의 이론을 알아야 합니다. 하지만 2차 정사각행렬의 경우에는 좀 더 쉽게 설명이 가능하지요.



2차 정사각행렬에서, 케일리-헤밀턴 정리(이하 C-H)는 주어진 행렬 A = {{a, b}, {c, d}} 로부터 그 행렬이 만족해야 하는 특수한 형태의 방정식을 알려줍니다. 구체적으로,

      A² - pA + qE = O

이 p = a+d 와 q = ad-bc 에 대해 성립함을 알려줍니다. 따라서 이 방정식은 원래 행렬에 대한 정보를 어느 정도 담고 있지요.

그러면 여기서 이런 질문을 할 수 있습니다. 만약 2차 정사각행렬 A가 어떤 방정식

      A² - pA + qE = O      …… (1)

를 만족함을 안다면, 이 방정식은 원래 행렬에 대하여 우리에게 얼마나 많은 것을 알려줄까요? 구체적으로, 우리는 (1)이 성립한다는 사실로부터 우리는 (p, q) = (a+d, ad-bc)라고 단정할 수 있을지 궁금해하는 것입니다.



이를 알아보기 위하여, 행렬 A를 하나 고정해두고, 경우를 나누어 생각해봅시다.

[경우 1] 우선 (1)을 만족시키는 (p, q)의 순서쌍이 유일하다고 가정합시다. 그런데 C-H 정리로부터, 우리는 (p, q) = (a+d, ad-bc) 가 (1)을 만족함을 알고 있습니다. 따라서 이 경우, (1)은 원래부터 C-H로부터 얻어진 이차식을 나타냅니다.

[경우 2] 이제 (1)을 만족시키는 (p, q)의 순서쌍이 유일하지 않다고 가정하고, 가능한 서로 다른 두 순서쌍을 (p1, q1) ≠ (p2, q2) 로 둡시다. 그러면

      A² - p1A + q1E = O
      A² - p2A + q2E = O

이고 두 식을 빼면 (p2-p1)A = (q2-q1)E 가 성립합니다. 따라서 약간의 논리를 거치면 A가 단위행렬의 상수배가 되어야 함을 얻습니다. 이것이 의미하는 바는, (1)이 원래 행렬에 대한 정보를 C-H보다 적게 갖고 있는 경우는 오직 A가 단위행렬의 상수배인 경우일 뿐이라는 것입니다.

반대로, A가 단위행렬의 상수배이면 (1)을 만족시키는 (p, q)의 순서쌍은 무수히 많습니다.




이로부터, 우리는 (1)꼴의 방정식에서 원래 행렬에 대한 정보, 특히 구체적으로 a+d 와 ad-bc의 값을 알아낼 수 있을 충분조건은 A가 단위행렬의 상수배가 아니라는 것을 압니다.

이것이 소위 'C-H의 역은 단위행렬의 상수배가 아닌 경우에만 쓸 수 있다'라고 하는 이야기인 것입니다.

숨마쿰라우데 개정수1 케일리해밀턴정리

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