여러분 중 대부분은 교과서를 공부하는 방법을 모른다. [part 2.]
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여러분 중 대부분은 교과서를 공부하는 방법을 모른다. [part 1.]https://orbi.kr/00026423546
전 게시글 보고 오시길 바랍니다.
0. 다른 관점으로, 여러분은 왜 교과서를 공부하지 않는가?
여러분이 교과서가 필요하지 않다고 생각하는 이유는, 교과서의 목적과 기능을 잘못알고있기 때문일 것 같다.
그렇기에 교과서의 단점이 치명적으로 다가오는 것 같다.
교과서와 기출을 통해 충분히 수준급의 실력을 갖출 수 있는 것은 맞다.
하지만, 실제로 교과서와 기출의 의미를 한번에 깊이 알기란 어려운 것이 사실이다.
그래서, 다양한 문제와 다양한 상황을 접하고 항상 교과서와 기출로 되돌아가는 것을 원칙으로 삼아야한다.
청의미의 수학 교과서 공부법 총정리(26페이지)https://orbi.kr/00019791614
교과서 증명 왜 공부할까요? (part.1) (교과서 공부의 근거)https://orbi.kr/00020426944
청의미의 기출 학습법 part. 1https://orbi.kr/00020300071
청의미의 기출 학습법 part. 2 (22페이지)https://orbi.kr/00020836022
이런 글에서 훌리짓을 했었다. 다시 보세요.
이번 글에서는 교과서의 불편한 점을 한번 나열해보고자 한다.
1. 교과서는 문제집이라 하기에는 문제 양이 너무 적다.
교과서는 문제집이라 할 수 없다. 대략 한권에 300문제가량 되는 양으로는 여러분의 시험을 대비할 수 없다.
내신은 학교마다 다르겠지만, 일반적으로 교과서의 문제만으로 내신과 수능을 대비하기 어렵다.
그러나, 여러분이 교과서를 선택할 때 꽤 많이 잘못 생각하는 것은
교과서 하나만 지독하게 파는 것으로 충분하다고 생각하는 것이다.
그러기에는 너무나도 문제의 양이 적으므로, 시험의 유형에 맞게 부가적으로 문제집을 구해야한다.
만약 문제집에서 모르는 내용이 있다면, 혹은 내가 이해가 안되는 풀이가 있다면
그때 다시 교과서로 돌아가는 방법이 제일 좋을 것이다.
교과서는 매우 좋은 기준이자 사전이지 문제집이 아니다.
잘못 선택하는 케이스 중 하나는, 교과서가 좋다해서 교과서만을 가지고 공부계획을 세우는 것.
그러면 순수 공부의 양이 매우 줄어들 수 밖에 없다. 소위 말해서 개꿀 공부계획이 되는 것이다.
교과서의 개념을 생각하고 예제풀이의 이유를 생각하는 것은 중요하지만, 시험에 알맞는 문제풀이 양을 확보하는 것도 중요하다.
2. 교과서는 수업용 교재이다.
매우 중요한 사실이다. 교과서는 수업용 교재로써의 단점을 지니고있다.
수업을 전제로 한 책으로써, 필요한 질문과 필요한 설명, 그리고 필요한 예제풀이의 방법을 서술하고 있지만,
그 필요한 개념을 이해하는 데에는 스스로의 질문, 혹은 선생님의 수업을 통한 질문답변이 필요하다.
예를 들어보자.
(출처 : 신X고 2015 개정 미적분 함수의 극한 생각열기)
함수의 극한이란 무엇일까? 라는 질문과 생각열기로 어느정도 이해할 수 있겠지만,
과연 [함수의 극한이란 무엇일까?]라는 질문만으로 완전할까?
함수의 극한 개념은 연속개념, 미분개념, 적분개념에 두루 쓰이는 개념이다.
또한 함수의 극한에 대한 기본 성질 부분에서도 이해해야하는 개념이다.
이러한 개념을 이해하기 위해 반드시 추가적인 질문이 더 필요하다.
물론 위의 질문이 알아야하는 최소의 질문이긴 하지만, 교과서를 이해하기 위해서는 더 많은 질문이 필요하다.
(출처 : 신X고 2015 개정 미적분)
왜? 분모의 최고차항으로 나누어야하지?
왜? 유리화를 해야하지?
이러한 질문을 예제에서 하지 않았는가를 전 게시글에서 물어보았다.
당연히 안나와있는데 할리가 없지.
결론 : 질문하자.
여러분이 교과서를 공부하기 위해서는 양질의 좋은 수업을 듣거나,
여러분 스스로 양질의 질문을 만들어야한다. 그럴때 교과서는 매우 좋은 책으로 변신하게 된다.
그리고 스스로 질문과 답변을 만들어, 교과서의 개념을 납득가능한, 설득가능한 방법으로 해석하게되면
절대 교과서의 개념을 잊어버리지 않게된다.
나는 그런 방식으로 공부를 했었다. 막무가내로 문제풀이 노동을 했었던 예전 방식은 정말 싫었다.
15시간동안 두유 2팩씩 4팩으로 점심과 저녁을 때워가면서
노력만이 답이다. 노력만이 살길이다. 이렇게 되뇌이면서 공부를 했었다.
그게 망하고 나서 더이상 노력이라는 말을 하기 싫었다.
안해본 것을 하고싶었는데, 그게 바로 이 방법이었다. 하나하나마다 질문하고 계속 생각해보기.
그리고 그런 방식을 옳다고 알려준, 그 시절의 수학영역의 비밀도 있었다. 가격이 비싸긴 했었지만.
굉장히 단순한 답이다. 교과서를 활용하려면 스스로 질문하고 답하는 습관을 가져야한다.
의문을 가지고 이게 합리적인지 설득이 되는지를 계속 따져야한다. 그게 올바른 교과서 공부법의 전부이다.
(물론, 스스로 하기에는 꽤 오래 걸리므로, 양질의 수업을 받는 것도 좋은 방법이다.)
만약 다음 개념에서, 혹은 문제에서 개념을 썼는데 틀렸다면 어떻게 해야할까?
[나는 합리적인 풀이를 했는데 왜 틀렸을까?]라는 충격을 받으면서 수정해나가면 된다.
그렇게 충격을 받고, 틀린 것을 고쳐나가고 계속 발전해나가면 어느 순간 확실하고 단단한 실력이 쌓이게된다.
문제는 이렇게 공부하면 힘들고 오래걸린다.
(너무 과하게 오래걸리면 다시한번 생각해보아야한다. 한동안 넘기자.)
그리고 몸이 아닌 머리가 힘들다. 그럴때는 정말 참공부를 하고있구나 생각하자.
결론(2) : 공부가 힘든 이유는 몸이 힘들기 때문이 아니라 머리가 힘들어서이다.
지금 하는 이야기는 방금까지와는 매우 다른 어조이긴 하다.
명심해야한다. 몸을 학대하는 공부는 누구나 한다. 그리고 그 대가를 받겠지 하면서 공부한다.
그러나, 깊이 고민하고 생각하고 자신이 항상 잘못되었다는 느낌을 받는 공부는 누구나 하지 않는다.
내가 잘못했다라는 느낌을 내 자존심이 받아들이기 싫기때문이다.
항상 깨지는 느낌을 받아들이기 어렵기 때문이다. 싫기때문이다.
결국 다시 돌아간다. 공부는 철학적이다.
꿈보다는 철학을 가져야합니다.https://orbi.kr/0008178534
왜 철학적인가.
내가 간절히 원하는 것이 확실하다면
내가 항상 깨지고, 항상 부족함을 느끼고, 항상 반성해야하는 것까지 참을 수 있는 것이고.
그렇지 않다면, 내가 항상 깨지는 것에 염증을 느끼는 것이다..
이 태도를 가지라는 말을 전하고싶다.
본인이 정말 모든 것을 참을 수 있다면, 항상 부족하고 반성해야하는 것도 참아야한다.
그게 하루 이틀이 아닌 300일 전체 그래야한다. 염증이 나겠지만.
그럴 수 없다면, 부족하고 반성해도 재미있는 다른것을 찾는 것도 방법이 될 것이다.
만약 확실하게 참아낼 결심이 섰다면, 질문하는 것을 두려워하지 말자. 그게 본질에 가까운 답이다.
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교과서를 이해하기위해 인강을 듣는다
교과서로 수업하는 선생님이라면 매우 좋은 방법입니다.
저는 상황이 안되어 혼자 공부했지만, 아마 그 방법과 병행하여 스스로 질문하며 정리하는 공부방법은 거의 완벽에 가깝지않나 싶어요.
청의미님 수학은 교과서 그렇게 중요시하면서 왜 과탐이나 영어 국어는 교과서가 쓰레기인게 통념일까요?
탐구과목도 교과서가 의미있습니다.
그러나, 국어와 영어에 있어서는 조금 다릅니다.
일단 출제범위 자체가 교과서를 바탕으로 다양한 소재의 지문과 자료를 활용하여 출제한다고 적혀있습니다.
교과서 한정에서 출제영역을 정의한 수학과 탐구과목과는 달리, 범위가 더 넓은 국어영어의 경우, 교과서의 의미가 좀 줄어들 수 밖에 없지요.
또한, 탐구과목의 성격상.. 이전과는 다르게 타임어택성의 문제들이 많이 출제되고있습니다.
즉, 탐구과목은 지엽적인 선지를 공부하기 위해서 교과서가 쓰일수는 있지만
교과서 지식을 바탕으로 실전문제를 어떻게 빠르게 풀 수 있는가가 관건이 되었다고 생각합니다.
아얘 성격이 좀 달라져버렸죠..
사진은 2020학년도대학수학능력시험이렇게준비하세요 파일에 명시된 출제범위이며
평가원 사이트에서 다운받으실 수 있습니다.
아하! 생각정리에 도움이 됐습니다. 감사합니다.
왜 유리화를 해야하는지는 사실 아직도 모르겠습니다.
최고차항으로 나누는거야 차수 큰 놈이 가장 센 무한대니까 그러려니 하는데(익숙해지면 나누지도 않고 그냥 눈으로 풀죠. 그게 본질이기도 하고)
'유리화를 해야 풀기 좋게 되니까' 는 좀 부족한 답이라고 생각되더라고요. 분명히 유리화 해도 안풀리는 문제도 만들면 있을텐데 교과서에는 유리화를 시키면 풀기 좋게 된 문제만 있으니 그것만 정답처럼 보이죠. 설사 풀린다 하더라도 '왜 그렇게 했어야만 하느냐?' 는 해결되지 않는 부분이고.
일단, 분모의 유리화는 통분에서 항을 1개가 나오도록 하는 것은 아실것입니다.
분자의 유리화의 경우, 사실 그렇게 해야한다의 이유가 아니라, 그대로두면 함수의 극한에 대한 성질의 조건인 수렴하는 함수를 만족하지 못하기때문입니다.
그래서 분자의 유리화를 시켜주어 (물론 그 형태도 수렴하지 않는 함수이긴 합니다만) 수렴하는 형태의 꼴로 어떻게든 만들어줄 수 있게 하는것이지요.
어떻든 수렴하는 형태로 변형해보는 것이 핵심이 되는 것 같습니다. 그 고민 이후의 방법이라면 왠만하면 정답이 되겠지요
제가 볼 때 둘의 차이는 '필연성' 인 것 같습니다.
최고차항으로 나눠주는 것은, 결국 싸우다 보면 최고차항만이 남는다는 당연한 진리를 눈에 보이게 해주는 요식행위입니다. 그러니 익숙해지면 쓸 필요도 없고요.
그에 반해 유리화는, '될지 안될지 모르지만 일단 수렴하는 형태가 나올 때까지 이것저것 해보자' 에 가깝습니다. 단순한 문제풀이 테크닉이죠.
물론 테크닉을 가르치는 게 잘못은 아니지만, 교과서에서는 그 둘을 각각 소챕터 하나씩 할당해 마치 대등한 것처럼 가르치죠.
그 예제는 수렴하는 함수의 성질 부분에서 나옵니다.
수렴하기 위한 방안은 무엇인가에 대한 답으로 나온 것은 맞습니다.
그런 부분을 학습하기 위해서는 왜? 라는 질문을 계속 이어서 해야한다고 생각합니다.
예를들어, 교과서에서는 [최고차항으로 나누어라.] 가 아닌 [ 최고차항으로 나누어라.]라고 합니다. 왜 그럴까요?
공부하는 입장에서는 어떠한 테크닉으로 받아들이는 것 이상으로 왜그럴까 히는 질문이 중요한 것 같습니다. 이 부분도 사소한 테크닉이 아닌, 분모가 0이 아닌 수로 반드시 수렴하도록 하는 유일한 방법이어서 그런 것 같습니다.
분모의 최고차항으로 나누어야 하는 이유는 혹시라도 분모가 0으로 가버리는 불상사를 막기 위해서입니다.
사실 이것도 동의 안해요. 분모가 0이면 무한대인거지 뭐 그게 그렇게 중요한가.
수학적 엄밀성과는 관련없이 인간의 두뇌는 그렇게 이해한다는 겁니다.
다만 엄밀해야 하는 교과서 입장에서는, '분모 0 되면 내가 서술하기 좀 곤란해지니까 분모 차수로 맞춰주면 안되니...?ㅠㅠ' 라고 이야기하는 격이죠.
분자로 나눠줘도 됩니다. 그렇게 해서 문제없이 수렴한다면 좋은거고, 뭔가 문제가 생긴다면 발산하는 거겠죠.
분모가 0인 수는 존재하지 않는다고 알려져있습니다.
분모가 0에 가깝다면, 경험상 0.000000....001의 역수를 생각하여 무한대로 생각할 수 있는 것 같습니다.
제 개인적인 생각으로는 0으로 나누면 무한대 라는 결론은 바로 이러한 0.0000000...0001의 역수의 사고를 거쳐서 형성되었다고 생각합니다. 사실 이 논리와 분모를 수렴하게 하고 분자를 발산하게 하는 논리는 거의 비슷합니다.
역수의 사고를 통해 발산함을 이해하는 과정이라면 결국 논리는 똑같습니다. 그럴바에야 0으로 나누는 금기의 경우를 없애는 것이 더욱 확실하다고 생각합니다. 저는 이러한 이유로 분모의 최고차항으로 나누는 이유에 대해서 동의하고 학생들이 이해해야한다고 보고있습니다.