수리논술의 관점에서 2012학년도 수리영역 30번 바라보기

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간단하게 말하자면 a가 b보다 크거나 같으면 선분 PQ의 길이의 최솟값이 a^2 - b이고, a가 b보다 작으면 선분 PQ의 길이의 최솟값이 0이라는 것을 이용하여 문제를 풀게 됩니다.

수리논술을 공부하고 싶으시다면, 이제 위의 두 명제를 증명하려고 시도해 보세요.

이와 같이 수능 수리영역의 수준에서는 직관적으로 참임을 알 수 있기 때문에 넘어가는 내용들을 한번 증명하려고 시도해 보는 것이 수학적 사고력을 키우는 데 도움이 되고, 이 이야기는 난만한님도 자주 하는 이야기이지요. 덧붙여, 지수함수와 로그함수에 대하여 배우면서 그래프와 관련해서 배우게 되는 내용들을 전부 고등학교 자연계열 수학 전 과정을 이용하여 증명해 보려는 것이 하나의 예가 될 수 있다고 봅니다.

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나카렌 [278738]

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purereason · 391386 · 12/01/06 03:25 · MS 2011

나카렌님 등장 ㄷㄷㄷ

근데 이것 증명은 좀 쉽네요... 시험장에서 직관으로 해도 되고 시간 남으면 증명해보여도되고...
세는게 좀 짜증나는 문제이지 수학적 사고력을 많이 요구하는 문제는 아닌듯... 오히려 19번이 좋았는데 언급이 잘 안되네요 ㅋ

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나카렌 · 278738 · 12/01/06 03:27 · MS 2018

사실 그렇게 어렵지만은 않죠.

그렇다면, a>b>1이고 x>0이면 a^x > b^x, a>b>1이고 x<0이면 a^x < b^x 인 것도 한번 증명해 보세요.

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purereason · 391386 · 12/01/06 03:53 · MS 2011

이게 가장 elementary proof인지는 모르겠는데...
밑이 1보다 크면 증가함수라는 lemma를 이용할 수 있나요?

proof) 첫번째 명제에 양변에 b^x을 나누면 (a/b)^x >1 이고
여기에 밑을 a/b로 하는 지수함수 f(x)를 도입하여
f(x) > f(0) 임을 증명하면 되는데 이는 밑인 a/b가 1보다 크기 때문에
f : increasing at x ∈ (-∞,+∞) 이고 x>0 이므로 참이다

두번째도 같은 식으로 증명하면 되는데 lemma를 안쓰고 증명이 가능한지는 모르겠어요 ㅠㅠ

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나카렌 · 278738 · 12/01/06 04:02 · MS 2018

그 lemma를 증명하면 되지 않을까요?

1보다 큰 실수 r에 대하여 r^x는 증가함수이다.

proof) r^x를 x에 대하여 미분하면 r^x * ln r 입니다. 한편 ln x를 미분하면 1/x이므로, ln x는 증가함수임을 알 수 있고 따라서 1 0이므로,(일단 고등학교 과정에서 다루고 있으므로, 이 정도는 어쩔 수 없이 인정하겠습니다. 증명을 하자면 못 할 것도 없긴 하지만요...) r^x * ln r > 0을 얻고, 따라서 r^x는 증가함수입니다.

보충 - 실수 r에 대하여, r^x > 0 의 증명 : r이 유리수일 때는 r^x가 양수임을 증명할 수 있고, y=r^x가 하나의 선으로 이어지는 그래프가 되도록 실수 지수 x를 정의하므로 어떤 실수 x에 대해서도 r^x는 양수입니다.

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나카렌 · 278738 · 12/01/06 04:03 · MS 2018

사실 이 명제를 증명하려고 하게 되면, 고등학교 과정에서 증명하지 않고 두리뭉실 넘어갈 수밖에 없었던 부분과 만나게 되는 측면도 있습니다. 그런 의미에서 제가 부탁드린 두 명제의 증명은 그다지 좋은 문제라고 하긴 어렵겠네요;;

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purereason · 391386 · 12/01/06 04:19 · MS 2011

lemma가 미분을 이용하여 증명이 가능하긴 한데... 저 lemma를 안쓰고 증명이 가능한 가장 ele pf를 찾아봐야겠네요! ㅎㅎ

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나카렌 · 278738 · 12/01/06 04:23 · MS 2018

아마 유리수 지수에 대해서는 미분을 사용하지 않고 가능할 것 같고, 실수 지수에서는 미분 또는 극한과 연계되지 않는 증명은 불가능하지 않을까 합니다. 실수 지수의 정의 자체가 극한 또는 미분과 관련이 있으니까요.

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purereason · 391386 · 12/01/06 04:27 · MS 2011

아 그렇군요... 실수 지수의 정의를 유리수열의 극한으로 하니까... ㅠㅠ

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