수2 문제 하나만 알려주세요

Question

풀이좀 알려주시면 감사하겠습니다

간짬뽕 · Accepted Answer

ab사이에 평균값정리 만족하는 지점 존재하구 bc사이에도 평균값정리 만족하는 지점 존재하겠죠??
결국 기울기가 작아지는 f(x)구하시면 됩니다

dikeseye · Answer

조건을 보면, 미분가능하다는 조건이 없네요. 즉, ㄱ, ㄴ 둘다 틀린 명제입니다. 
(평균값정리를 쓸때에 연속, 미분가능의 조건을 따지는것은 중요하지요)
그리고 ㄷ도 옳지 않은것같군요.
조건을 만족한다고해서, f(x)=lnx라고 단정할수는 없지요.

ㄱ,ㄴ,ㄷ 모두 참이라고 할수 없습니다. 답이 없는문제이지요.

sos440 · Answer

주어진 조건은 f(x)가 위로 볼록인 함수임을 보장해줍니다. (사실 > 를 ≥ 로 바꾸면, 정확하게 필요충분조건이 됩니다.)

따라서 두 번 미분 가능하다는 전제 하에서 항상 f''(x) < 0 이어야 합니다.

사실 두 번 미분가능성을 생각하지 않더래도 f'(x)가 항상 감소함을 보일 수 있습니다. 증명은 다음 두 스텝을 밟으면 편하게 됩니다:

* Step 1) 우선 x < y < z < w 이면 항상 (f(y) - f(x))/(y - x) > (f(w) - f(z))/(w - z) 임을 보입시다. 문제 조건으로부터,

(f(y) - f(x))/(y - x)
> (f(z) - f(y))/(z - y)
> (f(w) - f(z))/(w - z)

이므로 원하는 바가 증명됩니다.

*Step 2) 이제 x < a < b < c < y 를 고정하고, 임의의 x < s < a, c < t < y 를 생각합시다. 그러면

(f(s) - f(x))/(s - x) > (f(b) - f(a))/(b - a) > (f(c) - f(b))/(c - b) > (f(y) - f(t))/(y - t)

이므로, s → x, t → y 로 극한을 취해주면

f'(x) ≥ (f(b) - f(a))/(b - a) > (f(c) - f(b))/(c - b) ≥ f'(y)

가 성립하여 원하는 바가 증명됩니다.

(이해가 잘 안 가신다고요? 주어진 조건을 A(a, f(a)), B(b, f(b)), C(c, f(c)) 사이의 평균기울기에 대한 내용으로 해석해보시면 너무나 쉽고 자명하게 위 내용이 이해가 될 겁니다. 그림은 우리를 속이기도 하지만, 대체로 우리에게 큰 도움을 주고 본질을 볼 수 있게 해 주지요.)

그리고 고등학교 과정이 아니긴 하지만, 개구간에서 볼록인 함수는 항상 연속이고, 좌도함수와 우도함수가 항상 존재하며, 가산(countable) 개의 점을 제외한 모든 점에서 미분계수가 존재함을 증명할 수 있습니다.

이야기가 딴 길로 샜는데, 결론은 '두 번 미분가능하다는 전제 하에서 오직 ㄴ만이 답이다' 라는 것입니다.

구체적인 반례가 필요할 경우, 다음과 같은 예를 참조하세요:

일단 미분가능하지 않은 반례로는 y = -|x - 1| 같은 쉬운 예가 있지요.

그리고 미분가능하더래도 y = -(x-1)^2 같은 경우 함수가 무한 번 미분가능한 아주 좋은 함수임에도 불구하고 도함수가 음수와 0, 양수를 모두 거칩니다. (그래서 ㄱ과 ㄷ은 구제할 수 없는 오답이지요.)

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