수학 문제 하나 풀어주실분
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이 식 수렴하는거 같은데 어떻게 정리되는지 알려주실분 있으신가요
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후후
공책 여백이 너무 부족해서 알려드릴수가없네여 ㅠㅠㅠ
페르마의 명언이군요 망언인가
정리할 필요도 없이 수렴아닌가
지수함수 곱하기 다항함수 형태인데 밑이 0~1사이인 놈만 2개 곱해져있는디
0으로 수렴합니다
위에 샤대분이 먼저 적으셨네요 ㅠ
정확히 어떤 식으로 수렴하는지가 궁금한겁니다
x(1-x)를 0과 1사이의 하나의 t로 치환하고 식을 보면 x곱하기 (1/2)^n꼴과 비슷하네요. 내려가는 지수함수랑 다항함수가 곱해져있으면 당연히 0으로 수렴하겠죠?
0으로는 수렴안하죠.. 첫 항이 x인데..
아 미친 시그마 안보고있었네요
정확히 뭘로 수렴하는 지는 모르지만 저 식보다 큰 시그마nx^n의 식은 정확히 x/(x-1)^2으로 수렴한다. 고로 그 보다 작은 값인 시그마nx^n(1-x)^n도 수렴한다.
아마 문제의 의도가 정확한 수렴 값을 구하라는 게 아니고 수렴하는 지를 판단하라는 것이면 이게 태클 걸 것 없는 최선의 풀이 일 거 같네요.
문제의 시작은 형질세포가 B세포로 전환될 확률에 따른 총 B세포수의 기댓값입니다
x는 형질세포가 B세포로 전환될 확률이고 저 식은 기댓값이고요. 저 식의 최댓값을 구하는게 목표라 어떤 식으로 수렴하는지 아는게 필요한 겁니다
형질세포는 형질세포 두개로 분화하거나 B세포로 전환되는데 B세포로 전환될 확률에 따라 총 B세포의 기댓값이 변하길래 끄적여 본거에요
덕분에 간만에 머리 굴렸네요
1/(1-x)을 따로 시그마앞으로 빼주시고 시그마안에서 (x(1-x))로 묶고 이를 t로 치환합니다 그러면 t도 0에서 1사이의 숫자죠?
그럼 시그마안에는 sum n*t^n 1 to n 이 남는데 이걸 F(t)라고 정의합니다. F(t)= t+2t^2+3t^3+4t^4... 이고요. tF(t)는 t^2+2t^3+3t^4... 이므로 F(t)-tF(t)=(1-t)F(t)=t+t^2+t^3+t^4... 이니까 등비급수로 구하면 t/1-t가 되겠네요. t는 절대로1이 될수없으므로 양변을 1-t로 나눠주면 결국 앞으로 빼놨던 1/(1-x)와 t/((1-t)^2)이 남습니다. 다시 t를 x(1-x)로 치환 풀어주시면 수렴하는 값 나와요!
이렇게 적으니까 제가 적고도 무슨말 하는지 잘 모르겠어서 노트에 적어서 오르비에 올려드릴게요!
0 < x < 1에서 x/((x^2 - x + 1)^2)로 수렴합니다.
아 이해했어요 감사합니다...
결국 님 제일 처음 댓글처럼 x(1-x)를 치환하는게 답이었군요
미분으로도 풀이할 수 있습니다 (x=1/2인 경우는 따로 고려해 주셔야 합니다) :
사실 풀이에서 짐작하겠지만, |x(1-x)| < 1일 때 수렴합니다. 증명은 저의 수준을 넘으므로 하지 않습니다.
계산 실수가 있군요. 최종 결론은 맞았는데, 그 전의 부호가...
계산 실수 있었다길래 다시봤는데 다시 봐도 직관이 놀랍네요. 참고로 기댓값의 최댓값은 1.1 근처로 나왔어요 x=(1+루트13)/6일때
https://orbi.kr/00022989937/%EC%B9%98%EC%82%AC%EC%9C%A8%EB%8B%98%EA%BB%98%EC%84%9C%20%EC%A7%88%EB%AC%B8%ED%95%98%EC%8B%A0%20%EB%AC%B8%EC%A0%9C%20%ED%92%80%EC%9D%B4
아닛 이번에도 누가 선수를 쳐놨네
아녜요 님 글 보자마자 저도 답 찾을 정도로 정리 잘해주셨는걸요 미분으로 푸는건 ㅈ간지긴 하네요
전 오히려 미분 아니면 딱히 큰 생각 안나던데... 근데 미분 쓰는 쪽이 더 간단한 거 같긴 하네요.
풀이 살짝 다르니까 제 풀이도 한번 봐주세요 엉엉
전 대학 수학에 문외한이라 미분으로 푸는건 상상도 못했습니다 허허 수2때 배웠던 급수문제중에 비슷한게 있었던 거 같네요
저의 풀이는 괜찮나요?
님 2004년생인데 벌써 저런게 떠오르면 거의 현우진급 신동입니다. 꼭 나라의 발전에 기여하시길
존나 참신하죠 보면서 감탄했습니다
x=1/2인 경우는 압축 정리를 사용하면 될 거 같군요.