부정적분 적분상수...

Question

적통 수완 풀다가 모르는게 생겨서요... 주위에 물어봐도 아는 사람이 없어서
여기다 질문 올려봐요....
질문의 요지는 f(x)를 부정적분해서 정리하면 인테그랄e-xsinxdx 이게 적분상수없는 깔끔한 식이되는데
왜 마지막에 적분상수 C가 생긴건가 에요 궁금해서 교과서 찾아봤는데
교과서에서도 식을정리할때는 C가 없다가 마지막에 C를 붙여주더라구요
왜그런지 쉽게 설명해주실수있는 분 계신가요 ㅠㅠ

sos440 · Accepted Answer

교과서를 보시면 아시겠지만, 부정적분은 미분의 역으로 정의하며, 주어진 함수 f(x)에 대하여 미분하여 f(x)가 나오는 함수 F(x)를 찾는 과정입니다.

그런데 미분의 특성상 이 과정에 의한 결과는 (존재한다면) 유일하지 않습니다.

구체적으로, f(x)가 주어져 있고 F(x)가 F'(x) = f(x)를 만족시키는 어떤 함수라고 합시다. 그러면 임의의 상수함수 C에 대하여 F(x)+C 역시 미분하면 f(x)를 줍니다.

그리고 구간 위에서 정의된 함수의 경우, f(x)의 모든 부정적분들은 정확히 서로 상수함수만큼 차이납니다. (평균값 정리로 증명됩니다.)

그래서 우리는 f(x)의 부정적분 자체를 하나의 함수가 아닌 '함수들의 모임'으로 생각하고, 항상 적분상수를 적어줌으로써 이 사실을 상기시켜줍니다.

하지만 아무리 부정적분이 무수히 많더래도, 서로 상수함수만큼 차이가 나기 때문에, 사실 하나만 찾으면 모든 문제가 해결됩니다.

그래서 보통 계산 중에는 일반성을 잃지 않고 하나의 함수만을 찾은 다음, 그 함수에 적분상수를 붙여줌으로써 나머지 모든 함수들을 표현합니다.

정리하자면,

(1) 부정적분은 한 개가 아니다.
(2) 근데 임의의 부정적분은 상수함수만큼 차이난다.
(3) 그래서 그것을 표시해주기 위하여 적분상수 C라는 것을 생각하고, 항상 그것을 표시해준다.
(4) 그리고 어차피 다 계산하고 상수만 붙여주면 되기 때문에, 편의상 계산중에는 그딴거 생각 안한다.

가 되겠습니다.

아직은 고등학교 과정이기 때문에, F(x)+C 라는 표기를 '함수들의 모임'으로 보셔도 되고, 아니면 이 함수들의 모임 중에서 어떤 임의의 원소를 골라 뽑은 것으로 보셔도 됩니다.

굳이 수학적인 언어를 등장시켜서 엄밀하게 표현할 수도 있지만, 굳이 그렇게 이해하실 필요는 없다고 생각되네요.

(뭐 굳이 엄밀하게 말한다면, 적분상수를 미분연산자의 kernel C = (D^-1)(0)로 보고, 부정적분을 이 kernel에 의한 coset으로 보거나 혹은 이 coset의 representative로 볼 수도 있습니다.)

부정적분 적분상수...

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