수리 미적 한문제 질문할게요~

Question

x=1       1<x<3      x=3f ' (x)            0                          1f ''(x)      +                   +            0f   (x)           Pie/2                     Pie이고, g(x) = sin(f(x)) 란 조건이 있구요1<a<b<3 이면 -1 < {g(b)-g(a)} / b-a < 0 이다.제가 두가지 방법으로 풀었는데 어떻게 풀었냐면1.  {g(b)-g(a)} / b-a  를 평균값 정리를 이용해서 1, 3 대입해보면 g'(c) = -1/2 라서 맞네?2. 역시 평균값 정리를 이용했는데 g'(x) = cos(f(x)) * f ' (x)  라고 하고,     1<a<b< 3 의 범위에서 cos(f(x)) 는 -1과 0 사이에서 값을 갖는군?  오 f '(x) 는 0과 1 사이에서 값을 갖네    그럼 g '(x) 는 -1과 0에서 값을 갖네 오 맞다시간 재고 풀때는 그냥 1로 풀었는데 시험 보고 생각해보니 1로 푼건 틀린것 같더라구요아 그리고 여기서 궁금한게 있는데 -1/2 가 -1보다 기울기가 큰거에요 작은거에요?1의 방법으로 풀면 틀린건가요?

식암 · Accepted Answer

일단 기울기 -1/2보다는 -1이 더 큽니다. 기울기의 크기라는 것이 x축에 대해 얼마나 기울어져 있는가를 나타내는 것이기 때문에 기울기 값의 절대값을 크기로 보아야 하죠.
또 1번 방법은 일단은 틀렸다고 할 수 있습니다.
평균값 정리의 뜻이 a와 b 사이에 임의의 x좌표 c에 대하여
점 (a, g(a))와 점 (b, g(b))를 잇는 직선의 기울기 값이 f`(c)와 같게 하는 c가 반드시 존재한다는 것입니다.
따라서 어딘가에 f`(c)=-1/2가 되는 c가 존재한다는 사실만 알 수 있을 따름, 1과 3 사이에 있는 좌표 중
임의의 두 좌표를 연결한 기울기가 -1과 0 사이라는 보장은 할 수 없습니다. 따라서 방법 2가 정확한 풀이입니다.

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