정석, 이 부분 틀린거 같은데... 봐주실래요?

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실력 정석 적분과 통계 88p advice 2 부분이 잘못 된게 아닐까 한데요.

[적분에 관한 평균값의 정리]에 대한 것인데

∫ f(x)dx = F(x)+C 라고 하면

F(x)는 구간 [a, b]에서 연속이고 구간(a,b)에서 미분가능하다.

따라서 평균값의 정리에서

{ F(a) - F(b) } / ( b - a ) = F'(c)

곧, ( 1/b-a ) * ( a에서 b까지 f(x)의 정적분 ) = f(c)인 c가 구간(a,b)에 적어도 하나 존재한다.

에서 4번째 줄, F(a)와 F(b)의 자리가 바뀌어야 되지 않을까요?

그리고 미분에서 배우는 평균값 정리는 기출을 비롯해서 문제로 많이 봤는데

위의 [적분에 관한 평균값의 정리]는 어떻나요?

수능에 출제된 적이 있나요?

만약 출제 안 되었더라도, 출제될 가능성에 대해서는 어떻게 생각하세요?

삼각치환법처럼 안 나올까요?

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sos440 · 104180 · 11/11/02 20:10 · MS 2005

네, 뭐 정석에서 그렇게 적혀있다면, 당연히 잘못된 것이지요. 스스로를 믿으세요.

그리고 고등학교 과정에서 적분의 평균값 정리는, 정적분의 기본 정리로부터 사실상 미분의 평균값정리의 특수한 케이스가 됩니다. 그러므로 따로 떼어서 생각할 필요까지는 없다고 생각합니다.

(하지만 사실 정적분의 기본정리를 증명할 때 적분의 평균값 정리가 암묵적으로 쓰이거나 궁극적으로 동일한 논리의 연장선상에 놓이게 됩니다. 그리고 적분의 평균값 정리는 미분의 평균값 정리의 도움 없이 오롯이 성립하는 정리입니다. 그러니 어떤 의미에서는 인과의 순서가 반대라고 생각할 수도 있지요.)

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한양대학교 미래자동차공학과 · 335764 · 11/11/03 15:50 · MS 2010

정석이 틀린 거군요 ㅎ 감사합니다 ㅎ

"정적분의 기본 정리" 가 뭔가요?
정석 공부하면서 정적분의 정의, 기본 계산은 봤지만
기본 정리라는 개념어는 못 봤습니다.
개념을 명명하는 용어만 다른 거 같은데 ㅎ

그리고
정적분의 기본 정리 증명할 때,
적분의 평균값 정리가 어떻게 쓰이고 있고
어떤 동일 논리 하에 연장선상에 놓이게 되나요?

적분의 평균값 정리에 대한 정석의 증명을 보니
미분은 코빼기도 안 보이네요 ㅎ
또 다른 증명에는 미분의 평균값 정리로 증명하지만 ㅎ

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sos440 · 104180 · 11/11/03 21:13 · MS 2005

...... 농담은 아니신 것 같고;;;

정적분의 기본정리는 우리가 정적분의 계산을 할 수 있게 해주는 아주 위대한 정리입니다. 일반적으로는 미적분학의 기본정리로 불리며, 다음과 같이 서술됩니다.

Theorem. [a, b]에서 정의된 연속함수 f에 대하여,
(1) F(x) = ∫_{from a to x} f(t) dt 로 정의된 함수 F(x)는 [a, b]에서 미분가능하고 F'(x) = f(x) 가 성립한다.
(2) f(x)의 임의의 한 부정적분을 F(x)라고 하면, ∫_{from a to b} f(x) dx = F(b) - F(a) 이다.

이 정리의 가장 기본적인 아이디어는

∫_{from x to x+Δx} f(t) dt = f(x*)Δx

입니다. 즉, 매우 좁은 구간에서의 적분은, 그 넓이를 생각해보면, 거의 높이가 f(x)이고 폭이 Δx인 직사각형의 넓이와 같다는 것입니다. 그리고 이 등식이 바로 적분의 평균값정리로 정당화됩니다.

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한양대학교 미래자동차공학과 · 335764 · 11/11/03 23:35 · MS 2010

아........... 제가 착각을 해도 크게 했네요 ㅠㅠ
정적분의 기본 정리를 정적분의 정의에 포함된 내용인 줄 알았습니다.
정의와 정리를 구별하지 못 했네요. 죄송합니다.ㅎ

그렇다면
"정적분의 정의"란
구분구적법으로 영역의 넓이와 부피를 구하는 것을
간단히 적분기호 인테그랄로 나타내기로 한 것이죠?

그리고
"정적분의 기본 정리"란
우리가 정적분을 계산할 때 사용하는 그 계산법이죠?
(부정적분에 위끝을 대입한 값에서 아래끝을 대입한 값을 빼는 계산법)

그리고
"정적분의 기본 정리"가 도출되기 위해 사용된 것이
d { ∫_{from a to x} f(t) dt } / dx = f(x)이고
위 내용에 적용된 것이
님께서 말씀하신 가장 기본적인 아이디어 ∫_{from x to x+Δx} f(t) dt = f(x*)Δx
그리고 제가 질문드린 정적분의 평균값 정리 인가요?

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