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VaiIlstrAxXevN [824352] · MS 2018 · 쪽지

2018-11-27 10:12:32
조회수 869

수능국어대비 독해력 향상 제재2

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3차원 유클리드 공간은 위상적(topolgical) 구조, 아핀(affine) 구조, 그리고 계량적(metric) 구조를 지니고 있는 기하학적 구성이다. 위상적 구조에 의하여 기하학적 대상들의 연속성과 불연속성에 관한 사실들이 결정될 수 있으며, 그것에 의하여 공간 상에서 대상의 연속성을 보존하는 위상적 변환이 가능해진다. 아핀 구조는 두 점들 사이에 유일한 직선이 존재한다는 사실을 결정하며, 이에 따라 아핀 변환은 아핀 구조를 지니고 있는 공간 상에서 선 혹은 면의 직선성을 보존하는 함수가 된다. 점들 사이의 거리 혹은 선의 길이에 관한 사실은 계량적 구조에 의하여 결정되며, 그러한 사실들을 보존하는 변환은 균등(isometry) 변환이라고 불린다. 어떠한 기하학적 대상이 균등 변환된다면, 원래의 대상과 변환된 대상은 합동(congruence) 관계를 지닐 것이다.

 

이러한 구조들을 지니고 있는 3차원 유클리드 공간은 일반적으로 데카르트 좌표계에 의하여 표상된다. 데카르트 좌표계는 3차원 유클리드 공간에서 기본적인 존재자로 도입된 점들에 개별적인 실수들을 할당하는 함수들의 집합으로 생각될 수 있다. 이러한 좌표 함수는 3차원 유클리드 공간 내의 한 점이 논항으로 주어졌을 때 각각 한 가지의 실수를 값으로 산출하는 축 함수들 세 가지로 구성되어 있을 것이다. 가령, 어떠한 점 p가 주어졌을 때, 그것에 할당되는 좌표값은 x축 좌표 함수의 값인 3, y축 좌표 함수의 값인 6, z축 좌표 함수의 값인 9로 구성된 삼중체인 (3,6,9)가 될 수 있다. 따라서, 이러한 데카르트 좌표계의 도입은 3차원 유클리드 공간의 속성에 대한 대수적인 연산을 가능케 한다. 그렇다면 3차원 유클리드 공간에 대한 이러한 대수적인 표상은 어떠한 방식으로 그것이 지니고 있는 기하학적 구조들을 표상할 수 있을 것인가?

 

먼저, 기하학적 대상의 연속성에 관한 사실들을 결정하는 위상적인 구조는 좌표 함수의 연속성에 의하여 표상될 수 있을 것이다. 즉, 모든 좌표 함수가 연속 함수라는 가정에 의하여 공간의 위상적 구조가 대수적으로 표상될 수 있는 것이다. 다음으로, 유클리드 공간의 아핀 구조는 데카르트 좌표계에서의 선형 방정식에 의하여 표상될 것이다. 즉, '이차원적' 유클리드 공간에서의 특정한 직선은 그것에 포함된 점들이 데카르트 좌표계에 할당된 방식에 따라 y=ax+b와 같은 형식의 선형 방정식으로 표상될 수 있는 것이다. 마지막으로, 유클리드 공간의 거리적 구조는 '거리 함수'의 도입을 통하여 데카르트 좌표계에 반영될 수 있다. 즉, 유클리드 공간에서 두 점 사이의 거리는 두 점에 대응되는 데카르트 좌표계의 좌표들을 논항으로 삼는 거리 함수의 값을 통하여 표상될 수 있는 것이다. 


어떠한 두 점 p,q 사이의 거리는 p,q의 거리 함수의 값, 즉, p에 대응되는 x-좌표값과 q에 대응되는 y-좌표값의 차이를 제곱한 값, 각각의 y-좌표값의 차이를 제곱한 값, 그리고 각각의 z-좌표값의 차이를 제곱한 값의 합의 제곱근에 대응되는 것이다. 우리는 p,q 사이의 거리와 p,q의 거리 함수의 값이 지니는 관계에 주목할 필요가 있다. 특정한 거리 함수 값인 D(u,v)는, 그것에 특정한 계량 단위가 할당되지 않는 이상, 어떠한 기하학적 의미도 지니고 있지 않다. 하지만 이와 달리, 어떠한 거리 함수 값들 사이의 '비율'은 그 자체만으로 기하학적인 의미를 지니고 있다. 가령, 우리는 세 좌표 사이의 두 거리 함수의 비율이 1:2라는 사실만을 통하여 유클리드 공간에서 세 좌표에 대응하는 세 점 사이의 거리의 비율이 1:2라고 올바르게 추론해낼 수 있는 것이다. 이것은 특정한 대수적 사실은 우리가 도입하는 측정 단위나 계량법과 관계없이 특정한 기하학적 사실에 대응된다는 것을 의미하며, '게이지 자유(gauge freedom)'라는 용어가 지칭하는 바이다.

 

뉴턴 역학은 이러한 기하학적 구조를 지니고 있는 3차원 유클리드 공간, 그리고 그러한 유클리드 공간의 존속이 이루어지는 1차원적 절대 시간에 관한 역학이다. 하지만, 뉴턴 역학은 상대성 이론에 대체되며, 상대성 이론은 시간과 공간의 구조가 구분되지 않는 4차원적 시공간의 도입을 요구한다. 이러한 상대론적 요구에 부합하는 것이 바로 민코프스키(Minkowski) 시공간이다.  

 

먼저, 민코프스키 시공간은 기본적으로 사건들의 집합과 그 사건들을 잇는 세계선을 도입한다. 민코프스키 시공간에서의 사건과 세계선은 각각 3차원 유클리드 공간에서의 점과 선에 유비될 수 있다. 다음으로, 민코프스키 시공간의 위상학적 구조와 아핀 구조는 3차원 유클리드 공간의 그것과 ㅡ민코프스키 시공간은 3차원 유클리드 공간과 달리 시간과 공간이 동일한 방식으로 그러한 구조를 예화한다는 것을 제외하면ㅡ 다를 바가 없다. 하지만, 민코프스키 시공간은 3차원 유클리드 공간에 도입된 거리적 구조와 전혀 다른 구조를 지니고 있다. 더 구체적으로 말하자면, 민코프스키 시공간에서의 두 '사건' 사이의 구분은 3차원 유클리드 공간에서의 두 점 사이의 구분과는 전혀 다른 방식으로 실현된다는 것이다.  

 

3차원 유클리드 공간은 데카르트 좌표계에 의하여 표상될 수 있다. 또한, 특정한 데카르트 좌표계를 통한 운동의 기술은 갈릴레이 변환에 의하여 구분되는 데카르트 좌표계를 통하여 기술될 수 있다. 이와 달리, 민코프스키 시공간은 로렌츠 좌표계에 의하여 표상될 수 있으며, 로렌츠 변환에 의하여 구분되는 로렌츠 좌표계들 사이의 관계가 명시될 수 있다. 로렌츠 좌표계는 데카르트 좌표계가 3차원 유클리드 공간의 위상학적 구조와 아핀 구조를 표상하는 것과 동일한 방식으로 민코프스키 시공간의 위상학적 구조와 아핀 구조를 표상한다. 하지만, 로렌츠 좌표계에서 사건들은 그것들 간의 거리가 아닌 간격에 의하여 구분된다. 거리의 경우와는 달리, 두 사건은 간격이 0인 경우에도 구분될 수 있으며, 양수 뿐만 아니라 음수의 간격 또한 지닐 수 있다.

 

민코프스키 시공간에서의 간격은 3차원 유클리드 공간에서의 거리와 마찬가지로 불변량으로서 다뤄진다. 3차원 유클리드 공간에서, 관찰자의 공간적 경로에 따라서 두 점 사이의 거리가 다르게 측정될 수 있지만 거리 함수의 값에 의하여 표상되는 직선 거리는 관찰자의 상태와 독립적으로 결정될 수 있다. 이와 유사하게, 민코프스키 시공간에서는, 관찰자의 시공간적 경로 혹은 세계선의 궤적에 따라서 두 사건 사이의 간격이 다르게 측정될 수 있지만, 간격은 관찰자의 상태와 독립적인 방식으로 결정될 수 있는 절대적인 측정치를 지니고 있는 것이다. 이와는 다르게, 민코프스키 시공간에서는, 거리나 시간과 같은 양은 관찰자의 상태와 독립적으로 결정될 수 있는 불변량으로서의 지위를 박탈당하게 되는 것이다. 그것이 바로 '시간과 공간의 상대성'이란 용어가 가리키고자 하는 바이다.

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