수리 본좌님들 질문...

그러한 곡선이 되려면 조건이 f''(a) = 0 , 그리고 f'(a) > 2 아닐까요? 이 두조건 만족하는 삼차함수는 전부 3개의 근을 가질거 같은데요

a가 그냥 양수라고만 주어지고는 아무 말 없으면 가지지 않을 수도 있다는 것이죠???

넹 ㅎㅎ 만약에 f'(a)가 2보다 작다면 한점에서밖에 못 만날거 같아요

감사합니다ㅎㅎ

(a,a)에 대하여 대칭이라는것은 점대칭이라는 뜻인가요?

그렇다면 그 점이 함수 f(x)의 변곡점이므로 f(x)=k(x-a)^3+a와 같이 놓을 수 있습니다

y=f(x)와 y=2x-a의 교점의 개수를 따져야 하므로 g(x)=k(x-a)^3-2x+2a일 때, 곡선 y=g(x)와 x축이 만나는 점의 개수를 살펴보면 되는데요

g(x)를 전개해보면 g(x)=kx^3-3akx^2+(3a^2k-2)x-a^3k+2a와 같구요

x축과 세 점에서 만나려면 g(x)는 극댓점과 극솟점을 모두 가져야하는 동시에 극댓점과 극솟점의 y좌표의 곱이 양수가 되어야합니다

우선 첫번째 조건을 만족시키도록 g(x)를 미분해보면 g'(x)=3kx^2-6akx+3a^k-2입니다

이 때, g'(x)=0과 x축이 서로 다른 두 점에서 만나야 g(x)의 극댓점,극솟점이 존재하므로 판별식을 써보면

d/4=9a^2k^2-9a^2k^2+6k>0가 되어야합니다(물론 k=0이면 함수 g(x)의 극점이 1개밖에 없겠죠)

따라서 k>0라는 사실이 함수 g(x)가 x축과 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 필요조건이므로

조건을 만족하는 함수 f(x)의 최고차항은 0보다 큽니다

풀이가 잘못되신거 같네요. 변곡점일때의 f(x)의 식을 세우실때 잘못 된거 같습니다

정확하게는 f(x) = k(x-a)^3 +c(x-a) + a (c는 임의의상수) 라 놓아야 한다 봅니다

보카님의 식을 그대로 따라가면

d/4 = 9a^2k^2 - 9a^2k^2 +6k -3kc >0 이 됩니다

따라서 3k(2-c) > 0

따라서 K가 0보다 작다면 c > 2 입니다

이때 f'(a) = c 이므로

최고차항의 계수 k가 0보다 작다면 f'(a) > 2 크면 된다는 결론입니다

아......

극값을 가지는 경우에도 그러니까, 일반적인 3차 함수는 대부분 대칭이니까 저렇게만 놓고 풀면 안되는 것 같습니다.

물론 보카님 풀이대로 삼중근을 갖는 경우만 생각하면 당연히 최고차항은 양수가 되어야 하지만, 일반적인 3차 함수의 개형 하에서는 정말 애매해서 그걸 질문한 거구요

답변은 정말 감사합니다ㅎㅎㅎㅎ

화이트블루님 식도 약간 문제가 있네요. f(x)를 저렇게 두면 (a,a)를 지나지 않아요
변곡점이 (a,a)일 때 이 정보를 바탕으로 삼차함수의 식을 세울 때는 변곡점에서의 접선이 삼차함수와 삼중근을 가진다 라는 사실로부터 세울수 있습니다.
즉, f(x) - {f'(a) (x-a) + f(a) } = k(x-a)^3 으로부터요. f(a)=a이므로 이 경우는
f(x) = k(x-a)^3 + f'(a) (x-a) + a네요. 이 경우 y = 2(x-a) + a와의 교점을 묻는 것이므로
k(x-a)^3 + (f'(a)-2)(x-a) = 0 를 푸는 것이 되겠네요. 나머지는 뭐 윗분이 하신 알고리즘을 그대로 따라가면
(x-a) { k(x-a)^2 + f'(a)-2 } = 0 이 되겠고
k의 양수일 때, f'(a)가 2보다 크면 해가 1개, 2이면 해가 삼중근, 2보다 작으면 해가 서로다른 해가 3개
k가 음수일 때는 이와 순서가 반대가 되겠네요
즉, 질문자께서 찾는 조건은 f'(a)값이 2보다 크면 되네요

아 그렇네요. 마지막에 상수를 고쳐서 f(a) = a 를 만족하게끔 넣었어야 했는데 실수했네요.. ㅎㅎ

전 그저 일차항은 이계도함수일때 사라진다는 생각만 하고 식을 작성했는데 포스트잇님 식이 더 정석인거 같네요

앗차! 제가 일반항을 잘못놨네요 특수한 경우에만 해당하는 식이었어요

포스트잇님 답변처럼 푸는게 맞습니다